第03讲 直线、平面平行垂直的判定与性质（练）（解析版）

第03讲直线、平面平行垂直的判定与性质（练）一、单选题1．己知m，n是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，下列命题中正确的是（）A．若//,mn，则//mnB．若,，则//C．若//,//mm，则//D．若,mn，则//mn【答案】D【分析】根据空间中位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误.【详解】对于A，若//,mn，则//mn或异面，故A错误.对于B，若,，则//或,相交，故B错误.对于C，若//,//mm，则//或,相交，故C错误.对于D，由线面垂直的性质可得若,mn，则//mn，故D正确，故选：D.2．已知空间中a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．a，abb∥B．a，bab∥C．a，b，a∥与b异面D．，b，aba【答案】B【分析】根据空间中的线和平面，以及平面与平面的位置关系即可逐一判断.【详解】由a，abrr可得b∥或者b，故A错误，由垂直于同一平面的两直线平行，可知B正确,由a，b，∥可得a与b异面或者//ab，故C错误，由，b，abrr，当a时，不能得到a，只有当a时，才可以得到a，故D错误，故选：B3．已知两条不同的直线,ab及两个不同的平面,，下列说法正确的是（）A．若//,,ab，则//abB．若//,,ab，则a与b是异面直线C．若//,,ab，则a与b平行或异面D．若,ba，则a与一定相交【答案】C【分析】由面面平行的性质可判断ABC，由线面平行的判定定理可判断D【详解】若//,,ab，则直线,ab没有交点，故a与b平行或异面，故A，B错误，C正确；若,ba，当//ab时，a与平行，故D错误故选：C4．设ab、为两条直线，a、为两个平面，下列四个命题中正确的是（）A．若ab，与所称的角相等，则ab∥B．若ab，，，则abrrC．若ab，，则ab∥D．若abab，，，则∥【答案】B【分析】根据平行和垂直的性质定理，并进行判断.【详解】对于选项A,将一个圆锥放到平面上，则它的每条母线与平面所成的角都是相等的，故“若ab，与所称的角相等，则ab∥”故A错；对于选项C,若ab，，则ab∥位置关系可能是平行，相交或异面，故C错；对于选项D,若abab，，，则∥是错误的，两平面,a还可能是相交平面；故D错；对于选项B，若ab，，，则abrr，两个平面垂直时，与它们垂直的两个方向一定是垂直的.故选：B.5．三棱柱111ABCABC中，1AA面ABC，.ABBC则下列两条直线中，不互相垂直的是（）A．1AA和BCB．1AB和1BCC．1AB和BCD．AB和1BC【答案】B【分析】根据线面垂直的性质以及判定即可得到线线垂直，由选项即可逐一求解.【详解】对于A，因为1AA平面ABC，BC平面ABC，所以1AABC；对于B，1AB与1BC不一定垂直；对于C，因为1AABC，ABBC，且1AAABA，1,AAAB平面11ABBA,所以BC平面11ABBA，1AB平面11ABBA,所以1ABBC；对于D，因为1AA平面ABC，11//CCAA，所以1CC⊥平面ABC，ABÌ平面ABC,所以1CCAB，又ABBC，且1BCCCC，1,BCCC平面11BCCB,所以AB平面11BCCB，又1BC平面11BCCB，所以1ABBC.故选：B．6（理科）．如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，14,6,ABAAF是棱11BC的中点，点E在棱1BB上，且1113BEBB.若过点,,AEF的平面与直线1DD交于点G，则1DGDD（）A．23B．13C．12D．34【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示出点的坐标，设0,0,Ga，由面面平行的性质得到//EF平面11ADDA，再由线面平行的性质得到//EFAG，根据向量共线的坐标表示计算可得.【详解】解：以D为坐标原点，以DA，DC，1DD的方向分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则4,0,0A，4,4,4E，2,4,6F，2,0,2EF，设0,0,Ga，则4,0,AGa.因为平面11BCCB//平面11ADDA，EF平面11BCCB，所以//EF平面11ADDA，因为平面AEF平面11ADDAAG，EF平面AEF，所以//EFAG，则EFAG，即2,0,24,0,a，即242a,解得4a，故123DGDD.故选：A二、填空题7．空间四边形ABCD中，,ACADBCBD，则异面直线AB与CD所成的角的大小为___________.【答案】90【分析】取CD中点O，连接BOAO、，由,BOCDAOCD证CD平面AOB，再证CDAB即可得所求角度.【详解】空间四边形ABCD中，取CD中点O，连接BOAO、，因为,ACADBCBD，所以,BOCDAOCD，因为BOAOO，BOAO、平面AOB，所以CD平面AOB，因为ABÌ平面AOB，所以CDAB，所以AB与CD所成的角为90.故答案为：908．正棱锥的高为2，侧棱与底面所成角为45，则该正棱锥的侧棱长为______．【答案】22【分析】先求出AO，再根据勾股定理求出PA即可.【详解】如图所示，PABCD是一个正四棱锥，2PO，且有POAO，侧棱PA与底面所成角为45PAO，所以2AO，所以侧棱222222PA，故答案为：229．如图，,AB是120的二面角l棱l上的两点，线段AC、BD分别在平面、内，且ACl，BDl，2AC，1BD，3AB，则线段CD的长为______．【答案】4【分析】作辅助线使EAC为二面角的平面角，由余弦定理求出EC，再通过证明ED平面EAC，得出EDEC，通过勾股定理即可求解.【详解】如图所示：在平面中，过A作直线平行于BD，在其上取一点E，使AE＝BD，连接EC、ED．由BDlAEl，，则EAC即为al的平面角，则120EAC．在EAC中，由余弦定理得：2222cosECEACAEACAEAC1142122（-）=7，四边形EABD是平行四边形，则ED＝AB＝3．由AB平面EAC，结合EDAB得ED平面EAC，EC平面EAC，则EDEC，DEC是直角三角形．由勾股定理2227916,4CDCEEDCD．故答案为：410．a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a//b，b//c，则a//c；②若ab，bc，则a//c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；上述命题中正确的是_______（只填序号）．【答案】①【分析】对于①，用平行的传递性即可判断；对于②，利用直线垂直的性质即可判断；对于③，利用直线的位置关系判断；对于④，利用异面直线的定义判断【详解】解：①根据空间直线平行的平行公理可知，若a//b，b//c，则a//c，所以①正确；②在空间中，若ab，bc时，a与c可以相交、平行，也可以异面，所以②错误；③在空间中，若a与b相交，b与c相交，a与c可以相交、平行，也可以异面，所以③错误；④若a平面，b平面，并不能说明a与b不在同一个平面内，a与b可以平行、相交，也可能是异面直线，所以④错误，故答案为：①．三、解答题11（理科）．如图，在正三棱柱111ABCABC中，底面边长为2，13BB，D为BC的中点，点E在棱1BB上，且11BE，点P为线段AD上的动点．(1)求证：1CEPE；(2)若直线1CD与PE所成角的余弦值为156，求平面1DCE和平面1CEP的夹角的余弦值．【解析】（1）在矩形11BCCB中，112,3,1BCBBBE，D为BC的中点，所以115,10CEDECD，所以1CEDE，因为ABC是正三角形，D为BC的中点，所以ADBC，又因为111ABCABC是正三棱柱，所以1CC⊥平面ABC，而AD平面ABC，所以1CCAD，而11,,CCBCCCCBC平面11BCCB，所以AD平面11BCCB，因为1CE平面11BCCB，所以1ADCE，因为,,ADDEEADDE平面ADE，点P为线段AD上，所以1CE平面PDE，而PE平面PDE，所以1CEPE；（2）如图以11BC的中点为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则1(1,0,0),(0,0,3),(1,0,1)CDE，设(0,,3)(03)Ptt，则1(1,,2),(1,0,3)PEtCD，所以115cos,6PECD，即25156105t，解得1t，所以11(1,1,3),(2,0,1)CPCE，设(,,)nxyz为平面1PCE的法向量，则30,20,xyzxz令1x，则5,2yz，所以(1,5,2)n，取(0,1,0)m为平面1DCE的法向量，所以222530|cos,|61(5)21mn，所以平面1DCE与平面1CEP的夹角的余弦值为306．12．四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为菱形，60ADC，2,PAADE为AD的中点.(1)求证：平面PCE平面PAD；(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；【解析】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴DADC，∵60ADC，∴ADC为等边三角形，∴CACD，在ADC中，E是AD中点，∴CEAD，∵PA平面ABCD，CE平面ABCD，∴CEPA，∵PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，∴EC平面PAD，∵CE平面PCE，∴平面PCE平面PAD.（2）∵EC平面PAD，∴斜线PC在平面内的射影为PE，即CPE∠是PC与平面PAD所成角的平面角，∵PA平面ABCD，AD平面ABCD，∴PAAD，在RtPAE中，225PEPAAE，在RtCED中，223CECDED，∵EC平面PAD，PE平面PAD，∴ECPE，在RtCEP中，15tan5CECPEPE，∴PC与平面PAD所成角的正切值为155.一、单选题1．已知矩形ABCD中，2,1ABBC，将CBD沿BD折起至CBD，当CB与AD所成角最大时，三棱锥CABD的体积等于（）A．530B．515C．36D．32【答案】C【分析】先判断当CB与AD所成角最大时，CBAD，进而证得AD面ABC，再证得ABC△是直角三角形，故可由CABDDABCVV求得结果.【详解】因为异面直线最大角为直角，故当CBAD时，CB与AD所成角最大，因为四边形ABCD是矩形，所以ADAB，又CBAD，ABCBB，ABCB、面ABC，故AD面ABC，又因为AC面ABC，所以ADAC，在RtACD△中，12,ADCD，所以22413ACCDAD，又2,3,1BCACAB，所以22ABBCAC，故BCAC，所以11131313326CABDDABCABCVVSAD.故选：C.2．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（）A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥αC．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m