第01讲 集合与常用逻辑用语（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第1讲集合与常用逻辑用语本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，集合主要结合一元二次不等式等相关知识点考察元素于集合之间的关系，多注意集合在数学中的使用方法。常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，需要理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法、体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用。考点一集合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AAØB或BÙA相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅ØB且B≠∅3．集合的三种基本运算文字语言图形表示符号语言集合的并集所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合的交集所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}集合的补集全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}4.集合基本运算的常见性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．考点二充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．充分条件与必要条件的相关概念记p，q对应的集合分别为A，B，则p是q的充分条件p⇒qA⊆Bp是q的必要条件q⇒pA⊇Bp是q的充要条件p⇒q且q⇒pA＝Bp是q的充分不必要条件p⇒q且qpABp是q的必要不充分条件pq且q⇒pABp是q的既不充分条件也不必要条件pq且qpAB且A⊉B3.熟记常用结论○1．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．考点三全称量词与存在量词1．全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀命题存在量词命题存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃2．全称量词命题与存在量词命题命题名称命题结构命题简记全称量词命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)存在量词命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称量词命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)存在量词命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)高频考点一集合的概念例1、（2022·全国·高三专题练习）设集合22,2,1Aaaa，若4A，则a的值为（）．A．1，2B．3C．1，3，2D．3，2【答案】D【解析】由集合中元素的确定性知224aa或14a．当224aa时，1a或2a；当14a时，3a．当1a时，2,4,2A不满足集合中元素的互异性，故1a舍去；当2a时，2,4,1A满足集合中元素的互异性，故2a满足要求；当3a时，2,14,4A满足集合中元素的互异性，故3a满足要求．综上，2a或3a．故选：D．【变式训练】已知集合22{(,)|3,Z,Z}Axyxyxy，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【答案】A【解析】由223xy，得33x，33y，又Zx，Zy，所以{1,0,1}x，{1,0,1}y，易知x与y的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为339.故选：A.【归纳总结】注意集合的元素中的三要素，学会将元素的互异性转化为函数问题。高频考点二集合间的基本关系例2、（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）设集合2|Axyx，2|Byyx，2(,)|Cxyyx，则下列关系中不正确的一个是（）A．ACB．BCC．BAD．A∪B＝C【答案】D【解析】集合A是由二次函数2yx=的自变量x组成的集合，即RA，集合B是由二次函数2yx=的因变量x组成的集合，即0Byy，所以BA，故C正确；集合C是由二次函数2yx=图象上所有的点组成集合，为点集，所以AC，BC，A∪B＝RC，所以A、B正确，D错误.故选：D【变式训练】已知集合221,N43xyAxx，0,1,2,3,4AC，则满足条件的集合C的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由22143xy知22x．又xN，则集合0,1,2A．又0,1,2,3,4AC，则满足条件的集合C可以为0,1,2，0,1,2,3，0,1,2,4，0,1,2,3,4，共4个，故选：C．【方法总结】算出每一个集合中的元素，再根据集合之间的关系进行判断，注意空集的含义。高频考点三集合的基本运算例3．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知集合2,1,0,1,2,1,0,2,1,0,1UAB，则()UABð（）A．B．0,1C．0D．1【答案】D【解析】因2,1,0,1,2,1,0,2UA，则{2,1}UAð，而1,0,1B，所以(){1}UABð.故选：D【变式训练】如图，三个圆的内部区域分别代表集合A，B，C，全集为I，则图中阴影部分的区域表示（）A．ABCB．IACBðC．IABCðD．IBCAð【答案】B【解析】解：如图所示，A.ABC对应的是区域1；B.IACBð对应的是区域2；C.IABCð对应的是区域3；D.IBCAð对应的是区域4.故选：B【练后归纳】注意运算的顺序，理清运算的逻辑，有时也可以借助Venn图来理解。高频考点四充分条件与必要条件例4、（2022·广西·高二阶段练习（理））已知:0pab，2:2bbqaa，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由2222()02(2)(2)bbabaabbabaaaaaa，当0(2)0abaa，可得(,2)(0,)a且ab，当0(2)0abaa，可得(2,0)a且ab.所以:0pab，可推得2:2bbqaa成立，但反之不成立.故p是q的充分不必要条件.故选：B【变式训练】已知p：12x，q：0mx，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．3mB．3mC．5mD．5m【答案】C【解析】命题p：因为12x，所以14x，解得5x，命题q：xm，因为p是q的充分不必要条件，所以5m.故选：C【方法技巧】先判断出谁是条件，谁是结论，再依次推断条件和结论之间的关系，从而得到结果。高频考点五全称量词与存在量词例5.（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）命题“1x，20xx”的否定是_______【答案】1x,20xx,【解析】“1x，20xx”的否定是:1x,20xx,故答案为：1x,20xx,【变式训练】设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈BB．￢p：∃x∉A，2x∈BC．￢p：∃x∈A，2x∉BD．￢p：∀x∉A，2x∉B【答案】C【解析】由题意得命题:,2pxAxB的否定为:,2pxAxB；故选C.【练后归纳】否定一个命题指的是在同意此事件条件的情况下否对他的结论所以命题的否定需要改变量词和结论，不需要改变条件。