第01讲 椭圆（练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第01讲椭圆一、单选题1．设m为实数，若方程22121xymm表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．322mB．32mC．12mD．312m【答案】A【分析】由焦点在y轴上的椭圆的标准方程222210yxabab即可得到答案.【详解】由题意得，120mm，解得322m.故选：A.2．与椭圆2211612xy有公共焦点，且离心率为2的双曲线的标准方程为（）A．22122xyB．22122yxC．22126xyD．22162yx【答案】A【详解】由椭圆2211612xy得，半焦距16122c，显然椭圆焦点在x轴上，因此双曲线的焦点为(2,0),(2,0)，因双曲线离心率为2，令其实半轴长为a，即有22a，解得2a，则双曲线虚半轴长2222ba，所以所求双曲线的标准方程为22122xy.故选：A3．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（）A．33B．12C．22D．32【答案】C【详解】由题意，设圆柱底面直径为,0dd，则椭圆短轴长2bd，椭圆长轴竖直截面如下图所示：由题意及图，可知ABC△为直角等腰三角形，且ABd，故,2ACdBCd，椭圆的长轴长222,2aBCdad，所以221==2cabd，所以椭圆的离心率122222dcead.故选：C4．已知12FF、是椭圆22221(0)xyabab的左､右焦点，点P为抛物线28(0)yaxa准线上一点，若12FPF△是底角为15的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A．31B．21C．312D．212【答案】A【分析】利用几何性质确定12FPF中得22122=30?,==2PFMFFPFc，利用222223cos===22FMacPFMPFc可得,ac的关系，即可得椭圆离心率.【详解】解：如图，抛物线的准线与x轴的交点为M因为12,FF是椭圆2222+=1(0)xyabab的左､右焦点，所以12(,0),(,0)FcFc抛物线2=8(0)yaxa准线为：直线2xa，所以(2,0)Ma因为12FPF是底角为15?的等腰三角形，则1212==15?PFFFPF则22122=30?,==2PFMFFPFc则222223cos===22FMacPFMPFc，整理得：2=(3+1)ac所以离心率2===313+1cea.故答案为：A.5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，(25,0)F为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足||=||OPOF，且||=4PF，则椭圆C的方程为（）A．221255xyB．2214525xyC．2213010xyD．2213616xy【答案】D【详解】如图，设椭圆的右焦点为F，则(25,0)F，连接PF，因为||=||=OPOFOF，所以PFPF，所以2222=||=(45)4=8PFFFPF，由椭圆的定义可得2=||+=12aPFPF，则6a，又因为=||=25cOF，所以22222==6(25)=16bac，所以椭圆C的方程为2213616xy，故选：D6．已知1F、2F是椭圆C：22221xyab0ab的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，20ABAF且122AFABAF.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（）A．2214xyB．22143xyC．221169xyD．2211612xy【答案】D【详解】因为2=0ABAF，所以2ABAF，因为122AFABAF，所以121=AFABAFAF，即112BFFF，所以1F为2BF的中点，又因为12OFOFc，所以234BOBF，过点O作OM⊥AB于点M，则3OM，根据2RtRtBOMBFA，可得2234OMOBAFBF，所以24AF，因为A为上顶点，所以124AFAF根据双曲线定义可知：1228AFAFa，所以=4a，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：1214FFAF，即24c，所以=2c，故222==164=12bac，所以椭圆方程为：2211612xy故选：D7．已知椭圆222116xyb过点2,3，则其焦距为（）A．8B．12C．23D．43【答案】D【详解】将点2,3代入椭圆方程得243116b，解得=2b，又222cab，所以23c，焦距为43.故选：D.8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F，2F，P是它们的一个交点，且12π=3FPF，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，则12ee的最小值为（）A．52B．32C．1D．12【答案】B【详解】设椭圆长轴长为2a，双曲线实轴长为2a，1PFm，2PFn，（mn），122FFc则+=2=2mnamna，解之得=+=maanaa又222π41cos322mncmn则2224aaaacaaaa则222340aac，则2212134ee则222212121213132342eeeeee，则1232ee（当且仅当1226,22ee时等号成立）则12ee的最小值为32故选：B二、填空题9．若椭圆2212xym的离心率为12，则实数m的值等于__________．【答案】83或32【详解】设椭圆的长半轴和短半轴分别为,ab，由离心率为12，可得22214aba，当2m时，22,2amb，则214mm，83m；当02m时，222,abm，则2124m，32m，故答案为：83或3.210．已知复数z满足|3||-3|10zz，若-2iz为实数（i为虚数单位），则||z为_______.【答案】912【详解】由|+3|+|-3|=10zz得点Z是以3,0，3,0为焦点，长半轴长是5的椭圆，则222==16bac，所以点Z的轨迹方程为2212516xy.又-2iz为实数，可设=,2Rzmm，代入轨迹方程得275=4m，故2291||=+2=2zm.故答案为：91211．已知椭圆2222+=10xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且212PFFF.若1//ABPF，则椭圆的离心率为______.【答案】55【详解】由题意可得：21,0,0,,,,,0bAaBbPcFca则12200==,==02ABPFbbbbakkaaccac∵1//ABPF，则1ABPFkk，即22bbaac，解得：2bc∴225abcc，则555cceac故答案为：55.12．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔蒙日（1746-1818）最先发现．若椭圆22:14xCy的左、右焦点分别为12FF、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与椭圆C的蒙日圆相交于,MN，则12||||||||PMPNPFPF_________．【答案】1【详解】因为椭圆22:14xCy，所以2214,ab，故2,1ab，222==3cab，如图，令12=PFPFm，因为1224PFPFa，所以221212++2=16PFPFPFPF，即2212+=162PFPFm，结合图象，由平面向量的知识可得121221+=2=PFPFPOPFPFFF，故22212122222121221++2=4+2==4=12PFPFPFPFPOPFPFPFPFFFc，两式相加得222122412PFPFPO，即22162=4+12mPO，即2=5POm，由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时，易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得2225rab，所以22=(||)(+||)=||=55=PMPNrPOrPOrPOmm，故12==1PMPNmPFPFm.故答案为：1..三、解答题13．已知椭圆222210xyabab（）的离心率为12，长轴的长为4．(1)求椭圆的方程；(2)过左焦点F，作互相垂直的直线12,ll，直线1l与椭圆交于,PQ两点，直线2l与圆22:24Exy交于,MN两点，R为,MN的中点，求PQR△面积的最大值．【分析】（1）由题意知24a，离心率为12cea，解得2,1ac所以222==41=3bac所以椭圆的方程为22143xy；（2）由（1）可得左焦点1,0F当直线1l的斜率不存在时，直线1l的方程为=1x，则||=3PQ这时直线2l的方程为=0y，可得MN的中点R为(2,0)E119=?(2+1)=?3?3=222PQRSPQ；当直线1l的斜率为0时，则直线2l与圆E无交点；当直线1l的斜率存在且不为0时，设直线1l的方程为1ykx，直线2l的方程为1=+1yxk，1122,,,PxyQxy联立22=+1+=143ykxxy，得22223+4+8+412=0kxkxk221212228412+=,=3+43+4kkxxxxkk22222212122281648=1++4=1+3+43+4kkPQkxxxxkkk2212(1)34kk∵122,llERl，∴1//ERl∴点R到1l等于点E到1l的距离为231kdk点E到2l的距离为22233==211+1+kdkk，所以254k222222181+121+31==23+43+41+PQRkkkkSkkk令234kt，则8t，29329=+122PQRStt．所以PQR△面积的最大值为92．14．已知椭圆2222:+=1(0)xyCabab的右焦点F，离心率为12，且点31,2M在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A、B两点，P不在直线AB上且=+2OPOAOB，O是坐标原点，求PAB△面积的最大值．【分析】（1）由题意221=2914+=1caab，又222=cab，解得24a，23b，C的方程为22143xy；（2）设直线AB的方程为1xmy，11,Axy，22,Bxy，00,Pxy，则22=+1+=143xmyxy，消元整理得223+4+69=0mymy，所以1226+=3+4myym，1229=3+4yym，则22222122236+363+412+1=1+=1+=3+43+4mmmABmyymmm，由=+2OPOAOB，得001212,=+2,+2xyxxyy，0121212=+2=+1+2+1=+2+2xxxmymymymy012=+2yyy，P到直线AB的距离0022+11==+1+1myxhmm，2222222112(+1)1+11=?=6?=6?123+43+4+13+1++1PABmmSmmmmm设21tm，而13ytt在1t时递增，当=1t即211m，即0m时，PABS的最大值为32．15．已知O为坐标原点，点61,2在椭圆C：222210xyabab上，直线l：=+yxm与C交于A，B两点，且线段