第02讲 双曲线（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第02讲双曲线本讲为高考命题热点，分值22-27分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，选择填空题常考圆锥曲线椭圆双曲线的离心率，几何关系等问题，大题题型多变，但多以最值，定值，范围，存在性问题，考察逻辑推理能力与运算求解能力.考点一双曲线的定义1．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF1|－|PF2|＝2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.,当|PF1|－|PF2|＝－2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.考点二双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.考点三双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线y＝±baxy＝±abxa，b，c的关系a2＝c2－b2[常用结论]1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a，也叫通径．2．与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.4．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.高频考点一双曲线的定义及其应用【例1】(1)(2022·河南安阳三模)设双曲线C：x28－y2m＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝()A．8B．4C．82D．42(2)(2019·河北廊坊省级示范校三联)设F1，F2分别为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为________．(3)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．[答案](1)C(2)92(3)9[解析](1)由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|，由双曲线定义可知，|MF2|－|MF1|＝42，|NF1|－|NF2|＝42，两式相加得，|NF1|－|MF1|＝|MN|＝82.(2)∵|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4，∴a＝1，∴|BF1|＝3，又|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2，∴∠F2AB＝90°，∴sinB＝35，∴S△BF1F2＝12×5×3×sinB＝12×5×3×35＝92.(3)因为F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9.【方法技巧】双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．【跟踪训练】1．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是()A.x24－y221＝1(x＞2)B.y24－x221＝1(y＞2)C.x221－y24＝1D.y24－x22＝1解析：选A如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x24－y221＝1(x2)．2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.解析：由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝22，|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，则cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝422＋222－422×42×22＝34.高频考点二双曲线的几何性质考向(一)求双曲线的离心率(或范围)[例2](一题多解)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A―→＝AB―→，F1B―→·F2B―→＝0，则C的离心率为________．[解析]法一：双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax，∵F1B―→·F2B―→＝0，∴F1B⊥F2B，∴点B在⊙O：x2＋y2＝c2上，如图所示，不妨设点B在第一象限，由y＝bax，x2＋y2＝c2，得点Ba，b，a2＋b2＝c2，x0∵F1A―→＝AB―→，∴点A为线段F1B的中点，∴Aa－c2，b2，将其代入y＝－bax得b2＝－ba×a－c2.解得c＝2a，故e＝ca＝2.法二：如图，由F1A―→＝AB―→知A为线段F1B的中点，∵O为线段F1F2的中点，∴OA∥F2B，∵F1B―→·F2B―→＝0，∴F1B⊥F2B，∴OA⊥F1A且∠F1OA＝∠OF2B，∵∠BOF2＝∠AOF1，∴∠BOF2＝∠OF2B，又易知|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形，可知ba＝tan60°＝3，∴e＝ca＝1＋b2a2＝2.法三：如图，设∠AOy＝α，则∠BOy＝α，∵F1A―→＝AB―→，∴A为线段F1B的中点，又∵O为线段F1F2的中点，∴OA∥BF2，∴∠OBF2＝2α.过B作BH⊥OF2，垂足为H，则BH∥y轴，则有∠OBH＝α，∴∠HBF2＝α，易得△OBH≌△F2BH，∴|OB|＝|BF2|，∵F2B―→·F1B―→＝0，∴BF1⊥BF2，又O为F1F2的中点，∴|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形．∴∠BOF2＝60°，则ba＝tan60°＝3，∴e＝ca＝1＋b2a2＝2.考向(二)求双曲线的渐近线方程[例3](2022·武汉调研)已知双曲线C：x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆x225＋y216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()A．4x±3y＝0B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0D．4x±5y＝0或5x±4y＝0[答案]A[解析]由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝1－b2a2＝35，∴双曲线的离心率为1＋n2m2＝53，∴nm＝43，∴双曲线的渐近线方程为y＝±nmx＝±43x，即4x±3y＝0.故选A.考向(三)求双曲线的方程[例4](2020·广东湛江一模)设F为双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝7－1，则双曲线E的方程是()A.x26－y22＝1B.x22－y26＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1[解析]双曲线E：x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，∵四边形OAFB为菱形，∴对角线互相垂直平分，∴c＝2a，∠AOF＝60°，∴ba＝3.则有x2a2－y23a2＝1，x2＋y2＝c2＝4a2，解得P72a，32a.∵|PF|＝7－1，∴72a－2a2＋32a2＝(7－1)2，解得a＝1，则b＝3，故双曲线E的方程为x2－y23＝1.故选D.[规律探求]看个性考向(一)：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝ca转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；考向(二)：求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±ba＝±c2－a2a＝±c2a2－1＝±e2－1；考向(三)：求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程.找共性求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：[跟踪训练]1．(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±33xC．y＝±2xD．y＝±12x解析：选B设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，∴S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，由x2＋y2＝c2，x2a2－y2b2＝1可得y＝±b2c，则|MN|＝2b2c＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，∴a＝c2－b2＝23，∴C的渐近线方程为y＝±33x，故选B.2．(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D.5解析：选D由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±bax，不妨设点A－1，ba，B－1，－ba，所以|AB|＝2ba＝4|OF|＝4，所以ba＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝ca＝5.故选D.3．已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若MF1―→·MF2―→0，则y0的取值范围是________．答案：－33，33解析：由题意知a＝2，b＝1，c＝3，设F1(－3，0)，F2(3，0)，则MF1―→＝(－3－x0，－y0)，MF2―→＝(3－x0，－y0)．∵MF1―→·MF2―→0，∴(－3－x0)(3－x0)＋y200，即x20－3＋y200.∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴x202－y20＝1，即x20＝2＋2y20，∴2＋2y20－3＋y200，∴－33y033.