第02讲 概率（练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第02讲概率一、单选题1．在52111xxx的展开式中常数项为（）A．14B．－14C．6D．－6【答案】D【分析】根据二项式定理及多项式乘法法则求解．【详解】由二项式定理得551234555523451111111(1)(1)1CCCCxxxxxxx，所以所求常数项为12551CC15106．故选：D．2．从30名儿童中选3名扮演三种小动物，则不同的编排方法有（）种A．330PB．330CC．33303PPD．33303CC【答案】A【分析】利用排列组合的意义逐一检查选项即可.【详解】对于A，从30名儿童中选3名扮演三种小动物，相当于从30个元素中挑选出3个元素进行排列，是一个排列问题，故不同的编排方法为330P，故A正确；对于B，330C表示的意思是从相当于从30个元素中挑选出3个元素，没有排列，故B错误；对于C，33333033030PPP3216P，3330306PP，由A选项可知其错误，故C错误；对于D，33333033030CCC1C，由B选项可知其错误，故D错误.故选：A.3．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（）A．322B．16C．323D．18【答案】B【分析】求出从24个节气中选择4个节气的情况，和四个节气中含有“立春”的情况，利用古典概型求概率公式进行求解.【详解】从24个节气中选择4个节气，共有424C种情况，这四个节气中含有“立春”的情况有323C种情况，故这4个节气中含有“立春”的概率为323424C1C6.故选：B4．在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（）A．13B．16C．18D．112【答案】C【分析】先求出事件A包含的基本事件个数，再根据古典概型的公式计算即可．【详解】解：设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高为事件A．则6必在后排，1在前排，因此，分为1-6相对和1-6不对两种情况（相对的意思是前后相邻），(1)1-6相对：5必在后排，2必在前排，因此，又可分为2-5相对和2-5不对两种情况，①2-5相对时，3-4相对且4在后排，所以有33A种情况；②2-5不对，有332A种情况．(2)1-6不对：可分为5在前排和5在后排两种情况，1）5在前排，则5-6相对且4在后排，又可分为1-4相对和1-4不对两种情况，1-4相对：有33A种；1-4不对：有332A种．2）5在后排，又可分为1-5相对和1-5不对两种情况，①1-5相对：2必在前排，又分为2-6相对和2-6不对两种，2-6相对：有33A种；2-6不对：有332A种．②1-5不对，有3333AA种．所以333333336333151()6548AAAPAAA，故选：C．5．如图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于圆的半径，顶角为02的等腰三角形．如果在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为1，则（）A．6B．4C．3D．512【答案】A【分析】结合三角形的面积公式，根据几何概型的面积型问题求解即可.【详解】解：设圆的半径为R，则圆的面积为2R，所以，四个三角形的面积为2214sin2sin2RR，因为，在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为1所以，222sin1RR，解得1sin2，因为02，所以6．故选：A6．盒中装有大小相同的5个小球，其中黑球3个，白球2个，假设每次随机在5个球中取一个，取球后放回摇匀，则下列说法正确的是（）A．“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”互斥B．“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”独立C．“前三次都取到黑球”和“前三次都取到白球”对立D．若连续三次都取到黑球，则第四次取到白球的概率会大于25【答案】B【分析】对于A，利用互斥事件的定义判断，对于B，利用独立事件的定义判断，对于C，利用对立事件的定义判断，对于D，利用概率的定义求解即可.【详解】对于A，“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”是两次不同的试验，所以两个事件不是互斥事件，所以A错误，对于B，由于每次取球后放回摇匀，所以“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”互不影响，所以这两个事件是独立的，所以B正确，对于C，“前三次都取到黑球”与“前三次最多有两次取到黑球”是对立事件，所以C错误，对于D，因为每次取球后放回摇匀，所以每一次取到白球的概率都为25，所以D错误，故选：B7．已知A,B是两个随机事件,0()1PA,0()1PB,则下列命题中错误的是（）A．若A包含于B,则()1PBA∣B．若A,B是对立事件,则()()1PBAPAB∣∣C．若A,B是互斥事件,则()0PBA∣D．若A,B相互独立,则()()PBAPB∣【答案】B【分析】根据互斥事件和对立事件的概念,判断(),(),()PABPAPB之间的关系，进而判断选项的正误.【详解】解:关于选项A,因为A包含于B,所以()()PABPA,则()()()1()()PABPAPBAPAPA∣,故选项A正确,关于选项B,因为A,B是对立事件,所以()0()()1PABPAPB，所以()()()()0()()PABPABPBAPABPAPB∣∣,故选项B错误,关于选项C,因为A,B是互斥事件,所以()0PAB，所以()()0()PABPBAPA∣,故选项C正确,关于选项D,因为A,B相互独立,所以()()()PABPAPB，所以()()()()()()()PABPAPBPBAPBPAPA∣,故选项D正确.故选:B二、填空题8．甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为23，乙实习生加工的零件为一等品的概率为34，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为___________.【答案】512【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品，计算概率即可.【详解】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为2311346，乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为3211434，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为1156412.故答案为：512.9．已知集合2,0,3A，且aA，bA，则函数23fxaxxb有零点的概率是______．【答案】79【分析】利用列举法找出符合要求的基本事件的个数，然后求概率即可.【详解】由题意可得总的基本事件数为9，当0a时，2b，0，3符合要求，所以符合条件的基本事件有3个；当0a时，fx有零点得到940ab，当2a时，0b，3符合要求，从而符合条件的基本事件有2个；当3a时，2b，0符合要求，从而符合条件的基本事件有2个．故所求概率34799P．故答案为：79.10．已知*Nm，用非负整数12,nn表示m，213nmn，若mA为其表示方法的数组（12,nn）的个数，则mA＝__．【答案】1m##1m.【分析】对任意正整数m，有33(1)3(2)00123323mmmmm，从而求出mA的不等式．【详解】对任意正整数m，有33(1)3(2)00123323mmmmm，所以1mAm.故答案为：1m．三、解答题11．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]这六组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率.【答案】(1)0.015a，中位数为2203，平均数为72(2)310【分析】（1）根据频率分布直方图的性质以及中位数和平均数的概念，进行计算即可得解；（2）根据分层抽样在[60，70）内的有2人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有3人分别记为a，b，C，从中任意抽取2人，列出实验的样本空间，再利用概率公式，进行计算即可得解.【详解】（1）由图可知，10(20.0050.020.0250.03)1a，解得0.015a.设中位数为x，则0.050.150.20.3(70)0.5x，所以2203x.这100人问答成绩的平均数约为450.05550.15650.2750.3850.25950.0572.（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60，80）内的人中抽取一个容量为5的样本，则问答成绩在[60，70）内的有25223人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有35323人分别记为a，b，C.从中任意抽取2人，则实验的样本空间{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10个样本点.设事件A为2人的问答成绩均在[70，80）内的概率，则{(,),(,),(,)}Aabacbc，所以这2人的间答成绩均在[70，80）内的概率3()10PA.12．通过验血能筛查乙肝病毒携带者，统计专家提出一种化验方法：随机地按k人一组进行分组，然后将每组k个人的血样混合化验.如果混合血样呈阴性，说明这k人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明这k人中至少有一人血样呈阳性，需要重新采集这k人血样并分别化验一次，从而确定乙肝病毒携带者.(1)已知某单位有1000名职工，假设其中有2人是乙肝病毒携带者，如果将这1000人随机分成100组，每组10人，且每组都采用化验方法进行化验.（i）若两名乙肝病毒携带者被分到同一组，求本次化验的总次数；（ii）假设每位职工被分配到各组的机会均等，设X是化验的总次数，求X的分布列与数学期望EX.(2)现采用化验方法，通过验血大规模筛查乙肝病毒携带者.为方便管理、采样、化验，每组人数宜在10至12人之间.假设每位被筛查对象的乙肝病毒携带率均为2%，且相互独立，每组N,1012kkk人.设每人平均化验次数为Y，以Y的数学期望EY为依据，确定使化验次数最少的k的值.参考数据：100.980.82，110.980.80，120.980.78，数据保留两位小数.【答案】(1)（i）110；（ii）分布列见解析，13310111(2)10【分析】（1）（i）根据化验方法定义分析即可；（ii）由乙肝病毒携带者的2人分在同一组和分在不同组时得随机变量X可能的取值为110，120，求分布列和均值即可；（2）由题意可得若混合血样呈阴性，则1Yk，若混合血样呈阳性，则11Yk，求概率和数学期望，求当EY最小时，k的值即可.【详解】（1）（i）依题意，如果乙肝病毒携带者的2人在同一组，则该组需要检测11次，其他99个组都只需要检验1次，所以检测总次数为110.（ii）由（i）知，当乙肝病毒携带者的2人分在同一组时，检