第01讲 极坐标与参数方程（讲）（解析版）

第1讲极坐标与参数方程本讲为高考命题热点，分值10分，极坐标与参数方程跟不等式选讲两个里面选择一个，极坐标与参数方程常考察直角坐标方程，参数方程，极坐标方程的互化，角度问题，不等式选讲考察绝对值绝对值不等式与均值不等式证明，需要一定的逻辑推理能力，运算求解.高频考点一极坐标系与直角坐标系互化【例1】1.将直角坐标方程与极坐标方程互化：(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)θ＝π3(ρ∈R)；(4)ρcos2θ2＝1；(5)ρ2cos2θ＝4；(6)ρ＝12－cosθ.解(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ.化简得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简得ρ2－2ρcosθ－1＝0.(3)当x≠0时，由于tanθ＝yx，故tanπ3＝yx＝3，化简得y＝3x(x≠0)；当x＝0时，y＝0.显然(0，0)在y＝3x上，故θ＝π3(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝3x.(4)因为ρcos2θ2＝1，所以ρ·1＋cosθ2＝1，而ρ＋ρcosθ＝2，所以x2＋y2＋x＝2.化简得y2＝－4(x－1).(5)因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4.(6)因为ρ＝12－cosθ，所以2ρ－ρcosθ＝1，因此2x2＋y2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0.【方法技巧】1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.【变式训练】1.(1)若点P的极坐标为3，－π4，求点P的直角坐标；(2)求直线θ＝π4(ρ∈R)和圆ρ＝2的交点的极坐标.解由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，那么它们之间可以互化，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，或ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx.(1)ρ＝3，θ＝－π4，故x＝ρcosθ＝322，y＝－322.从而点P的直角坐标为322，－322.(2)显然2，π4是一个交点，由于圆和直线都关于原点对称，所以另一个交点是2，5π4.高频考点二求曲线的极坐标方程【例2】(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.解(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点.在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上，所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.【方法技巧】求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.【变式训练】在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝1，圆C的圆心是C1，π4，半径为1.求：(1)圆C的极坐标方程；(2)直线l被圆C所截得的弦长.【解析】(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝π4－θ或∠AOD＝θ－π4，|OA|＝|OD|cosπ4－θ或|OA|＝|OD|cosθ－π4，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ－π4.(2)由ρsinθ＋π4＝1，得22ρ(sinθ＋cosθ)＝1，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0，又圆心C的直角坐标为22，22满足直线l的方程，所以直线l过圆C的圆心，故直线l被圆C所截得的弦长为直径2.高频考点三极坐标方程的应用【例3】(2022·郑州质检)已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4，0)，求△MPQ的面积.解(1)曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，即x2＋y2－6y＝0.从而ρ2＝6ρsinθ.所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝6sinθ.设B(ρ，θ)，则Aρ，θ－π2，则有ρ＝6sinθ－π2＝－6cosθ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝－6cosθ.(2)M到射线θ＝5π6(ρ＞0)的距离为d＝4sin5π6＝2，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C1的交点PρP，5π6，其中，ρP＝6sin5π6＝3，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C2的交点QρQ，5π6，其中，ρQ＝－6cos5π6＝33，则|PQ|＝|ρP－ρQ|＝33－3，则S△MPQ＝12|PQ|d＝33－3.【方法技巧】1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|；(2)当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【变式训练】1.(2022·南昌模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x＝2＋rcosφ，y＝rsinφ(r0，φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点P23，π6，曲线C2的极坐标方程为ρ2(2＋cos2θ)＝6.(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)若Aρ1，α－π6，Bρ2，α＋π3是曲线C2上两点，求1|OA|2＋1|OB|2的值.解(1)将C1的参数方程化为普通方程得，(x－2)2＋y2＝r2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋4－r2＝0，将点P23，π6代入C1中得，12－83cosπ6＋4－r2＝0，解得r2＝4，代入C1的极坐标方程整理可得ρ＝4cosθ，∴C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(2)将点Aρ1，α－π6，Bρ2，α＋π3代入曲线C2的极坐标方程得，ρ212＋cos2α－π3＝6，ρ222＋cos2α＋2π3＝ρ222－cos2α－π3＝6，∴1|OA|2＋1|OB|2＝1ρ21＋1ρ22＝2＋cos2α－π3＋2－cos2α－π36＝23.高频考点四参数方程的应用【例4】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数).(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.解(1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.曲线C的标准方程是x29＋y2＝1，联立方程x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.则C与l交点坐标是(3，0)和－2125，2425.(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.设曲线C上点P(3cosθ，sinθ).则P到l距离d＝|3cosθ＋4sinθ－4－a|17＝|5sin（θ＋φ）－4－a|17，其中tanφ＝34.又点C到直线l距离的最大值为17，所以|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.若a0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.（2）(2022·河南省八市重点高中联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝5cosα，y＝2＋5sinα(α为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2＝4ρcosθ－3.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与C2交于A，B两点，A，B的中点为M，点P(0，－1)，求|PM|·|AB|的值.解(1)曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝5.由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，得曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x＋3＝0.(2)将两圆的方程x2＋(y－2)2＝5与x2＋y2－4x＋3＝0作差，得直线AB的方程为x－y－1＝0.点P(0，－1)在直线AB上，设直线AB的参数方程为x＝22t，y＝－1＋22t(t为参数)，代入x2＋y2－4x＋3＝0化简得t2－32t＋4＝0，显然Δ0，所以t1＋t2＝32，t1t2＝4.因为点M对应的参数为t1＋t22＝322，所以|PM|·|AB|＝t1＋t22·|t1－t2|＝322×（t1＋t2）2－4t1t2＝322×18－4×4＝3.【方法技巧】1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.2.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是P0P→的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.【变式训练】1.(2022·南昌摸底测试)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x＝cosθ，y＝cos2θ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝t，y＝－5＋22t(t为参数).(1)求曲线C和直线l的普通方程；(2)设P，Q分别是直线l和曲线C上的动点，求|PQ|的最小值.【解析】(1)因为y＝cos2θ＝2cos2θ－1，x＝cosθ，所以曲线C：y＝2x2－1(－1≤x≤1)，由x＝t，y＝22t－5得y＝22x－5，所以直线l的普通方程为y＝22x－5.(2)作直线l′：y＝22x＋b与曲线C相切，则|PQ|的最小值为直线l与直线l′的距离.将l′与C的方程联立，消去y，可得2x2－22x－(b＋1)＝0，则Δ＝8＋8(b＋1)＝0，解得b＝－2，故直线l′：y＝22x－2，从而直线l与直线l′的距离为|－2－（－5）|（22）2＋1＝1，即|PQ|的最小值为1(当且仅当切点Q的横坐标为22时取到最小值).