第02讲 不等式选讲（讲）（原卷版）

第2讲不等式选讲本讲为高考命题热点，分值10分，极坐标与参数方程跟不等式选讲两个里面选择一个，极坐标与参数方程常考察直角坐标方程，参数方程，极坐标方程的互化，角度问题，不等式选讲考察绝对值绝对值不等式与均值不等式证明，需要一定的逻辑推理能力，运算求解.高频考点一绝对值不等式性质的应用【例1】设a0，|x－1|a3，|y－2|a3，求证：|2x＋y－4|a.【例2】若f(x)＝3x＋1a＋3|x－a|的最小值为4，求a的值.【方法技巧】1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零点分区间法.2.含绝对值不等式的证明中，关键是绝对值三角不等式的活用.【变式训练】设函数f(x)＝x2－x－15，且|x－a|1.(1)解不等式|f(x)|5；(2)求证：|f(x)－f(a)|2(|a|＋1).高频考点二绝对值不等式恒成立与能成立问题【例3】(2022·陇南二诊)已知a≠0，函数f(x)＝|ax－1|，g(x)＝|ax＋2|.(1)若f(x)g(x)，求x的取值范围；(2)若f(x)＋g(x)≥|2×10a－7|对x∈R恒成立，求a的最大值与最小值之和.【例4】(2021·东北三省三校联考)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋1.(1)当a＝2时，解不等式f(x)＋x＜2；(2)若存在a∈－13，1时，使不等式f(x)≥b＋|2x＋a2|的解集非空，求b的取值范围.【方法技巧】求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.【变式训练】1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决.2.(1)在例6第(1)问，可作出函数y＝|2x＋2|与y＝1－x的图象，观察、计算边界，直观求得不等式的解集.(2)第(2)问把不等式解集非空，转化为求函数的最值.存在性问题转化方法：f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a；f(x)＜a有解⇔f(x)min＜a.高频考点三比较法证明不等式【例5】设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：13a＋16b＜14；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.【方法技巧】比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论.(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论.【变式训练】1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是________.高频考点四综合法证明不等式【例4】(2020·全国Ⅲ卷)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34.【方法技巧】1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.【变式训练】1.已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.