第1章 集合与常用逻辑用语 第1节　集　合

第1节集合考试要求1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.(3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.2.若集合P＝{x∈N|x≤2023}，a＝22，则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P答案D解析因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2023的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2x4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝()A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}答案B解析因为A＝{x|－2x4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}.4.(易错题)(2021·宜昌调研)集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则由实数a的取值组成的集合为()A.{－2}B.{1}C.{－2，1}D.{－2，1，0}答案D解析对于集合B，当a＝0时，B＝，满足B⊆A；当a≠0时，B＝2a，又B⊆A，所以2a＝－1或2a＝2，解得a＝－2或a＝1.5.(2021·西安五校联考)设全集U＝R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则(∁UA)∩B＝()A.{x|x0}B.{x|0x≤1}C.{x|1x≤2}D.{x|x2}答案D解析易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y0}.∴∁UA＝{x|x0或x2}，故(∁UA)∩B＝{x|x2}.6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝()A.B.SC.TD.Z答案C解析法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.法二S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T.,考点一集合的基本概念1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6答案C解析当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，0，1；当x＝1时，y＝0.所以U＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素.2.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.答案0或1解析①当a－3＝－3，即a＝0时，此时A＝{－3，－1，－4}，②当2a－1＝－3，即a＝－1时，此时A＝{－4，－3，－3}舍，③当a2－4＝－3，即a＝±1时，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2，1，－3}，综上，a＝0或1.3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且86－x∈N}＝________.答案{－2，2，4，5}解析由题意x可取－2，2，4，5，故答案为{－2，2，4，5}.4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.答案6解析依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个整数.∴所求的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.感悟提升1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二集合间的基本关系例1(1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{－1，0，1}(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.答案(1)D(2)[－1，＋∞)解析(1)当B＝时，a＝0，此时，B⊆A.当B≠时，则a≠0，∴B＝x|x＝－1a.又B⊆A，∴－1a∈A，∴a＝±1.综上可知，实数a所有取值的集合为{－1，0，1}.(2)∵B⊆A，①当B＝时，2m－1m＋1，解得m2，②当B≠时，2m－1≤m＋1，2m－1≥－3，m＋1≤4，解得－1≤m≤2，综上，实数m的取值范围[－1，＋∞).感悟提升1.若B⊆A，应分B＝和B≠两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.训练1(1)(2022·大连模拟)设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，则a2022＋b2023的值为()A.0B.1C.－2D.0或－1(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)1}，B＝{x||x－a|2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A.(1，3)B.[1，3]C.[1，＋∞)D.(－∞，3]答案(1)B(2)B解析(1)集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，则a2＝1或ab＝1.由集合互异性知a≠1，当a＝－1时，A＝{1，a，b}＝{1，－1，b}，B＝{a，a2，ab}＝{－1，1，－b}，有b＝－b，得b＝0.∴a2022＋b2023＝(－1)2022＋02023＝1.当ab＝1时，集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}＝{a，a2，1}，有b＝a2.又b＝1a，∴a2＝1a，得a＝1，不满足题意.综上，a2022＋b2023＝1，故选B.(2)由log2(x－1)1，得0x－12，所以A＝(1，3).由|x－a|2得a－2xa＋2，所以B＝(a－2，a＋2).因为A⊆B，所以a－2≤1，a＋2≥3，解得1≤a≤3.所以实数a的取值范围为[1，3].考点三集合的运算角度1集合的基本运算例2(1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)1}，那么图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x2}C.{x|0x≤1}D.{x|x≤1}答案(1)A(2)B解析(1)法一因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}.又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}.故选A.法二因为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)，∁UM＝{3，4，5}，∁UN＝{1，2，5}，所以∁U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}.故选A.(2)题图中阴影表示的集合为(∁UM)∩N.易知M＝{x|x1}，N＝{x|0x2}，∴(∁UM)∩N＝{x|1≤x2}.角度2利用集合的运算求参数例3(1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－50}，B＝{x|4x2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4](2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A.a－2B.a≤－2C.a－4D.a≤－4答案(1)C(2)D解析(1)因为x2－4x－50，解得－1x5，则集合A＝{x∈Z|x2－4x－50}＝{0，1，2，3，4}，易知集合B＝{xxm2}.又因为A∩B中有三个元素，所以1≤m22，解之得2≤m4.故实数m的取值范围是[2，4).(2)集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝x|x≤－a2，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图.可知－a2≥2，即a≤－4.感悟提升1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.训练2(1)(2021·全国甲卷改编)设集合M＝{x|0x4}，N＝x|13≤xa，且M∩N＝N，则a的取值范围为()A.a≤13B.a4C.a≤4D.a13(2)集合M＝{x|2x2－x－10}，N＝{x|2x＋a0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝，则a的取值范围是()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]答案(1)C(2)B解析(1)由M∩N＝N，∴M⊇N.当N＝时，即a≤13成立；当N≠时，借助数轴易知13a≤4.综上，a≤4.(2)易得M＝{x|2x2－x－10}＝{x－12x1}.∵N＝{x|2x＋a0}＝xx－a2，∴∁UN＝xx≤－a2.由M∩(∁UN)＝，则－a2≤－12，得a≥1.Venn图的应用用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn图.集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.例1设全集U＝{x|0x