第11章 选考部分 第1节　坐标系与参数方程 第一课时　坐标系

第1节坐标系与参数方程第一课时坐标系考试要求1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x（λ＞0），y′＝μ·y（μ＞0）的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).3.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r，0)，半径为r的圆ρ＝2rcos__θ－π2≤θ＜π2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsin__θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线①θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)②θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a－π2＜θ＜π2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a(0＜θ＜π)1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.()(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是2，－π3.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.()(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析(1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中，已知点P2，π6，则过点P且平行于极轴的直线方程是()A.ρsinθ＝1B.ρsinθ＝3C.ρcosθ＝1D.ρcosθ＝3答案A解析先将极坐标化成直角坐标表示，P2，π6转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.3.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4答案A解析∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，∴ρ＝1sinθ＋cosθ0≤θ≤π2.4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A.1，π2B.1，－π2C.(1，0)D.(1，π)答案B解析由ρ＝－2sinθ得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为________.答案x2＋(y－1)2＝1解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线ρcosθ＋ρsinθ＝a(a0)与圆ρ＝2cosθ相切，则a＝________.答案1＋2解析直线的方程为x＋y－a＝0，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心(1，0)，半径r＝1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a|2＝1，又a0，所以a＝1＋2.考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C：x2＋y2＝1经过伸缩变换x′＝2x，y′＝y得到曲线C′，则曲线C′的方程为________.答案x′24＋y′2＝1解析因为x′＝2x，y′＝y，所以x＝x′2，y＝y′，代入曲线C的方程得C′：x′24＋y′2＝1.2.曲线C经过伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后所得曲线的方程为x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为________.答案4x2＋9y2＝1解析根据题意，曲线C经过伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后所得曲线的方程为x′2＋y′2＝1，则(2x)2＋(3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1，所以曲线C的方程为4x2＋9y2＝1.3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y，则点A13，－2经过变换后所得的点A′的坐标为________.答案(1，－1)解析设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y得到x′＝3x，y′＝12y.由于点A的坐标为13，－2，于是x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，所以点A′的坐标为(1，－1).4.双曲线C：x2－y264＝1经过伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y后所得曲线C′的焦点坐标为________.答案(－5，0)，(5，0)解析设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，将x＝13x′，y＝2y′代入x2－y264＝1，得x′29－4y′264＝1，化简得x′29－y′216＝1，即为曲线C′的方程，知C′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0).感悟提升1.平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0）的作用下的变换方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝fx′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解.考点二极坐标与直角坐标的互化例1(1)极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0转化成直角坐标方程为()A.x2＋y2＝0或y＝1B.x＝1C.x2＋y2＝0或x＝1D.y＝1(2)点M的直角坐标是(－1，3)，则点M的极坐标为()A.2，π3B.2，－π3C.2，2π3D.2，2kπ＋π3(k∈Z)答案(1)C(2)C解析(1)ρ2cosθ－ρ＝0⇒ρ＝x2＋y2＝0，或ρcosθ＝1，即x＝1.(2)∵ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tanθ＝3－1＝－3.又点M在第二象限，∴θ＝2π3，∴点M的极坐标为2，2π3.感悟提升1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.解(1)由ρcosθ－π3＝1得，ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)由(1)知M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为0，233.所以点P的直角坐标为1，33，则点P的极坐标为233，π6，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R).考点三求曲线的极坐标方程例2(2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，如图，将C1分别绕原点O逆时针旋转π2，π，3π2得到曲线C2，C3，C4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C1，C2，C3，C4的极坐标方程；(2)直线l：θ＝π3(ρ∈R)交曲线C1，C3分别于A，C两点，直线l′：θ＝2π3(ρ∈R)交曲线C2，C4分别于B，D两点，求四边形ABCD的面积.解(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1，得C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π2，设C1上的点(ρ0，θ0)旋转π2得到曲线C2上的点(ρ，θ)，则ρ0＝ρ，θ0＝θ－π2，代入C1的方程得ρ＝2cosθ－π2＝2sinθ0≤θ－π2≤π2，所以C2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ2≤θ≤π，同理，C3的极坐标方程为ρ＝－2cosθπ≤θ≤3π2，C4的极坐标方程为ρ＝－2sinθ3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S四边形ABCD＝4S△AOB，将θ＝π3代入C1得|OA|＝ρA＝1，将θ＝2π3代入C2得|OB|＝ρB＝3，所以S四边形ABCD＝4S△AOB＝4×12·|OA|·|OB|·sinπ3＝3.感悟提升求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.训练2在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.解(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点.在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上，所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.考点四极坐标方程的