第11章 选考部分 第1节　坐标系与参数方程 第二课时　参数方程

第二课时参数方程考试要求1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数x＝f（t），y＝g（t），并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.3.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)圆x2＋y2＝r2x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.2.直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)参数方程x＝f（t），y＝g（t）中的x，y都是参数t的函数.()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的数量.()(3)方程x＝2cosθ，y＝1＋2sinθ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.()(4)已知椭圆的参数方程x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为3.()答案(1)√(2)√(3)√(4)×解析(4)当t＝π3时，点M的坐标为(2cosπ3，4sinπ3)，即M(1，23)，∴OM的斜率k＝23.2.(2019·北京卷)已知直线l的参数方程为x＝1＋3t，y＝2＋4t(t为参数)，则点(1，0)到直线l的距离是()A.15B.25C.45D.65答案D解析由题意可知直线l的普通方程为4x－3y＋2＝0，则点(1，0)到直线l的距离d＝|4×1－3×0＋2|42＋（－3）2＝65.故选D.3.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值是________.答案3解析直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.4.(2019·天津卷)设直线ax－y＋2＝0和圆x＝2＋2cosθ，y＝1＋2sinθ(θ为参数)相切，则实数a＝________.答案34解析圆的参数方程消去θ，得(x－2)2＋(y－1)2＝4.∴圆心(2，1)，半径r＝2.又直线ax－y＋2＝0与圆相切.∴d＝|2a－1＋2|a2＋1＝2，解得a＝34.5.已知直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝3，则直线l的斜率为________.答案±1515解析由x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，得y＝xtanα，设k＝tanα，得直线的方程为y＝kx，由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2，0)，半径为1，∴圆心到直线y＝kx的距离为12－|AB|24＝12＝|2k|k2＋1，得k＝±1515.6.(易错题)设P(x，y)是曲线C：x＝－2＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数，θ∈[0，2π))上任意一点，则yx的最大值为________.答案33解析由曲线C：x＝－2＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为(－2，0)，半径为1的圆，yx表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设yx＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d≤r，所以|－2k|1＋k2≤1，解得－33≤k≤33，所以yx的最大值为33.考点一参数方程与普通方程的互化1.下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是()A.x＝t，y＝t2B.x＝sin2t，y＝sintC.x＝t，y＝|t|D.x＝1－cos2t1＋cos2t，y＝tant答案D解析对于A，消去t后所得方程为x2＝y，不符合y2＝x；对于B，消去t后所得方程为y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；对于C，消去t得方程为y2＝|x|，且要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；对于D，x＝1－cos2t1＋cos2t＝2sin2t2cos2t＝tan2t＝y2，符合y2＝x.故选D.2.把下列参数方程化为普通方程.(1)x＝1＋12t，y＝5＋32t(t为参数)；(2)x＝sinθ，y＝cos2θ(θ为参数，θ∈[0，2π)).解(1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋32t中得y＝5＋32(2x－2).即它的普通方程为3x－y＋5－3＝0.(2)因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1，即y＝1－x2.又因为|sinθ|≤1，所以其普通方程为y＝1－x2(|x|≤1).3.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1.(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.解(1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，则⊙C的参数方程为x＝2＋cosα，y＝1＋sinα(α为参数).(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，所以|2k－1＋1－4k|k2＋1＝1，解得k＝±33，则这两条切线方程分别为y＝33x－433＋1，y＝－33x＋433＋1，故这两条切线的极坐标方程分别为ρsinθ＝33ρcosθ－433＋1，ρsinθ＝－33ρcosθ＋433＋1.感悟提升1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意参数的范围.2.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出.考点二参数方程的应用例1(2022·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝12t＋1t，y＝t－1t(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cosθ＋π3＝0.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知点P(3，3)，曲线C1和C2相交于A，B两个不同的点，求||PA|－|PB||的值.解(1)将x＝12t＋1t，y＝t－1t的参数t消去得曲线C1的普通方程为x2－y24＝1.∵cosθ＋π3＝0，∴ρcosθ－3ρsinθ＝0，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得曲线C2的直角坐标方程为x－3y＝0.(2)由题意得点P(3，3)在曲线C2上，曲线C2的参数方程可表示为x＝3＋32t′，y＝3＋12t′(t′为参数)，将上述参数方程代入x2－y24＝1得11t′2＋443t′＋4×29＝0，①Δ0，设t′1，t′2为方程①的两根，则t′1＋t′2＝－43，t′1t′2＝4×2911，∴(|PA|－|PB|)2＝(|PA|＋|PB|)2－4|PA||PB|＝(t′1＋t′2)2－4t′1t′2＝6411，∴||PA|－|PB||＝81111.感悟提升1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.2.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是P0P→的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.训练1(2022·晋中模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinα(t∈R，t为参数，α∈0，π2).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，θ∈π4，3π4.(1)求半圆C的参数方程和直线l的普通方程；(2)直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，△ABD的面积为1＋3，求α的值.解(1)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ代入，得半圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，∵θ∈π4，3π4，∴y＝ρsinθ＝2sin2θ∈(1，2]，x＝ρcosθ＝2sinθ·cosθ＝sin2θ∈(－1，1)，∴半圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1(1y≤2).由sinφ＝y－1∈(0，1]，cosφ＝x∈(－1，1)知，可取φ∈(0，π)，∴半圆C的参数方程为x＝cosφ，y＝1＋sinφ(其中φ为参数，φ∈(0，π)).将直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为y＝xtanα－2，α∈0，π2.(2)由题意可知，A2tanα，0，B(0，－2)，根据圆的参数方程中参数的几何意义，结合已知条件，可得φ＝2α，所以D(cos2α，1＋sin2α).则点D到直线AB的距离d＝|tanα·cos2α－（1＋sin2α）－2|1＋tan2α＝|sinαcos2α－cosαsin2α－3cosα|＝sinα＋3cosα，又|AB|＝（－2）2＋2tanα2＝2sinα.∴△ABD的面积S＝12·|AB|·d＝1＋3tanα＝1＋3，∴tanα＝3.又α∈0，π2，∴α＝π3.考点三参数方程与极坐标方程的综合应用例2(2020·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝coskt，y＝sinkt(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ－16ρsinθ＋3＝0.(1)当k＝1时，C1是什么曲线？(2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标.解(1)当k＝1时，C1：x＝cost，y＝sint，消去参数t得x2＋y2＝1，故曲线C1是以坐标原点为圆心，1为半径的圆.(2)当k＝4时，C1：x＝cos4t，y＝sin4t，消去参数t得C1的直角坐标方程为x＋y＝1.C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0.由x＋y＝1，4x－16y＋3＝0，解得x＝14，y＝14.故C1与C2的公共点的直角坐标为14，14.感悟提升在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷地解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问