第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第8节　函数与方程

第8节函数与方程考试要求结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)0.则函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2101.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示，所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝lgx的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点.()答案(1)×(2)×(3)√解析(1)f(x)＝lgx的零点是1，故(1)错误.(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.2.函数f(x)＝x＋lnx－3的零点所在的区间为()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)答案C解析∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln2－10，f(3)＝ln30，故f(x)在(2，3)上有唯一零点，故选C.3.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案B解析由2sinx－sin2x＝0，得sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，由sinx＝0，得x＝0，π，2π.由cosx＝1，得x＝0，2π.∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.4.(易错题)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.答案(－8，1]解析二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)0即可，即－1＋m≤0且8＋m0，解得－8m≤1.5.(易错题)设函数f(x)＝2x，x≤0，|log2x|，x0，则g(x)＝f(x)－12的零点的集合为________.答案－1，2，22解析由题意知，若x≤0，则2x＝12，解得x＝－1；若x0，则|log2x|＝12，解得x＝2或x＝22.故零点的集合为－1，2，22.6.(2021·唐山检测)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.答案[5，10)解析令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)0，即(5－k)(10－k)0，解得5k10.又当f(1)＝0时，k＝5.综上，实数k的取值范围是[5，10).考点一函数零点所在区间的判定1.函数f(x)＝ex-1－2x＋1－1的零点所在区间是()A.(－1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)答案C解析f(x)＝ex-1－2x＋1－1，则f(1)＝－10，f(2)＝e－530.故函数在(1，2)上有零点.2.(2021·西安调研)函数f(x)＝log8x－13x的一个零点所在的区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)答案B解析∵f(1)＝－130，f(2)＝log82－16＝160，∴f(1)f(2)0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，且零点在(1，2)内.3.若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析∵abc，∴f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点.又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.4.设函数y＝x3与y＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n的值为________.答案1解析设f(x)＝x3－12x－2，则x0是函数f(x)的零点，f(x)单调递增且图象是一条连续不断的曲线.因为f(1)＝1－12－1＝－10，f(2)＝8－120＝70，所以f(1)f(2)0，所以f(x)有唯一的零点x0∈(1，2)，所以n＝1.感悟提升1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断.考点二确定函数零点的个数例1(1)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x0的零点个数为()A.3B.2C.1D.0(2)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3(3)(2021·兰州诊断)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝cosπ2x，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是()A.2B.3C.4D.5答案(1)B(2)B(3)A解析(1)法一由f(x)＝0得x≤0，x2＋x－2＝0或x0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点.法二函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.(2)法一∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－10，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.法二设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.(3)由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2，令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|.作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示.由函数的图象知，y＝f(x)－|x|有两个零点.感悟提升函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.训练1(1)(2022·太原模拟)函数f(x)＝lnx－x2＋2x，x0，4x＋1，x≤0的零点个数是()A.1B.2C.3D.4(2)函数y＝lg|x|－sinx的零点个数为________.答案(1)C(2)6解析(1)当x0时，作出函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，当x0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0，得x＝－14.综上，f(x)有3个零点.(2)在平面直角坐标系中，分别作出y＝lg|x|与y＝sinx的图象，如图所示，由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点.考点三函数零点的应用角度1根据函数零点个数求参数例2(1)(2021·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝2|x|，x≤1，x2－3x＋3，x1(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为()A.12，1B.12C.38，12∪(1，＋∞)D.R(2)函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________.答案(1)C(2)(0，3)解析(1)作出函数f(x)的图象如图：因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，得2a2或342a≤1.解得a1或38a≤12.(2)令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－2x，从而y＝k与φ(x)＝2x－2x，x∈(1，2)的图象有交点，又φ(x)＝2x－2x在(1，2)上单调递增，且φ(1)＝0，φ(2)＝3.∴0k3.角度2根据零点范围求参数例3函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.(1)求b，c的值；(2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，求m的取值范围.解(1)∵2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴－b＝2＋3，c＝2×3，∴b＝－5，c＝6.(2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6，∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，依题意g（1）0，g（2）0，g（4）0，解得－12m0，故实数m的取值范围是－12，0.感悟提升1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合.2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.训练2(1)已知函数f(x)＝ex－a，x≤0，2x－a，x0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A.(0，1]B.[1，＋∞)C.(0，1)D.(－∞，1](2)设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是________.答案(1)A(2)(0，1)解析(1)画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点.当x≤0时，f(x)有一个零点，需0a≤1；当x0时，f(x)有一个零点，需－a0，即a0.综上，0a≤1.(2)由题意知，如图，在(0，10)上，函数y＝|lgx|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以ab＝1，0clg10＝1，所以abc的取值范围是(0，1).嵌套函数的零点问题函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.例1函数f(x)＝ln（－x－1），x－1，2x＋1，x≥－1，若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.答案[－1，＋∞)解析设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝