第4章 三角函数、解三角形 第6节　正弦定理和余弦定理

第6节正弦定理和余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB.4.三角形内角平分线性质定理：如图，在△ABC中，若AD平分∠BAC，则BDCD＝ABAC.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinAsinB，则AB.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，△ABC为钝角三角形.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a20时，A为锐角，但B或C可能为钝角，故△ABC不一定为锐角三角形.2.在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cosB＝()A.1116B.1316C.1114D.1314答案A解析由余弦定理知cosB＝a2＋c2－b22ac＝22＋42－322×2×4＝1116.3.已知在△ABC中，A＝π6，B＝π4，a＝1，则b等于()A.2B.1C.3D.2答案D解析由正弦定理asinA＝bsinB，得1sinπ6＝bsinπ4，所以112＝b22，所以b＝2.4.(易错题)在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42.则此三角形()A.有两解B.有一解C.无解D.有无穷多解答案B解析由正弦定理得sinB＝bsinAa＝42×3243＝22，所以B＝45°或135°.又b＜a，所以B＜A，故B＝45°，所以三角形有一解.5.(易错题)在△ABC中，角A，B，C满足sinAcosC－sinBcosC＝0，则三角形的形状为________.答案直角三角形或等腰三角形解析由已知得cosC(sinA－sinB)＝0，所以cosC＝0或sinA＝sinB，解得C＝90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形.6.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.答案22解析由题意得S△ABC＝12acsinB＝34ac＝3，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝12－2×4×12＝8，则b＝22.考点一利用正、余弦定理解三角形例1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，A＝30°，则B等于()A.30°B.45°C.30°或150°D.45°或135°(2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC＝()A.1B.2C.5D.3(3)(2022·珠海模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cosBcosC(tanB＋tanC)＝cosBtanB＋cosCtanC，则cosA的最小值是________.答案(1)D(2)D(3)12解析(1)根据正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝2×121＝22.由于b＝2＞1＝a，所以B＝45°或B＝135°.(2)法一由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).法二由正弦定理ACsinB＝ABsinC，得sinC＝AB·sinBAC＝5719，从而cosC＝41919(C是锐角)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝32×41919－12×5719＝35738.又ACsinB＝BCsinA，所以BC＝AC·sinAsinB＝3.(3)2cosBcosC(tanB＋tanC)＝2cosBcosCsinBcosB＋sinCcosC＝2sinBcosC＋2sinCcosB＝2sin(B＋C)＝2sinA，又cosBtanB＋cosCtanC＝sinB＋sinC，所以sinB＋sinC＝2sinA，由正弦定理得b＋c＝2a，由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－b＋c222bc＝3（b2＋c2）8bc－14≥3bc4bc－14＝12，当且仅当b＝c＝a时取等号，故cosA的最小值为12.感悟提升1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.训练1(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有()A.一个B.两个C.一个或两个D.0个(2)(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝________，cos∠MAC＝________.答案(1)B(2)21323913解析(1)由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得8022＝100sinB，所以sinB＝528.因为ab，所以BA，故B有两解，即符合条件的三角形有两个.(2)由题意知在△ABM中，AB＝2，∠B＝60°，AM＝23，由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cosB，即12＝4＋BM2－4·BM·12，解得BM＝4或BM＝－2(舍).∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝4，BC＝8，在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，∴AC2＝4＋64－2×2×8×12＝52，∴AC＝213.在△AMC中，由余弦定理可得cos∠MAC＝AM2＋AC2－MC22AM·AC＝12＋52－162×23×213＝23913.考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状例2(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝π3，则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角边不相等的直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosAcosB＝ba＝2，则该三角形的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形答案(1)A(2)A解析(1)因为a，b，c依次成等差数列，所以b＝a＋c2.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，将b＝a＋c2代入上式整理得(a－c)2＝0，所以a＝c.又B＝π3，所以△ABC为等边三角形.(2)因为cosAcosB＝ba，由正弦定理得cosAcosB＝sinBsinA，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.由ba＝2，可得a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝π－2B，即A＋B＝π2，所以C＝π2，故△ABC是直角三角形.感悟提升1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.训练2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb＜cosA，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为________.答案(1)A(2)直角三角形解析(1)由cb＜cosA，得sinCsinB＜cosA.又B∈(0，π)，所以sinB＞0，所以sinC＜sinBcosA，即sin(A＋B)＜sinBcosA，所以sinAcosB＜0.因为在三角形中sinA＞0，所以cosB＜0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.考点三与三角形面积(周长)有关的问题例3(12分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.[规范解答]解(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①……………………2分由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA.②由①②得cosA＝－12.……………………4分因为0Aπ，所以A＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，……………………8分从而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sinB＋π3.……………………10分又0Bπ3，所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23.………………12分感悟提升与三角形面积(周长)有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积(周长)；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.第一步利用正弦、余弦定理，对条件式进行边角互化第二步由三角函数值及角的范围求角第三步由正弦、余弦定理及条件式实现三角恒等变换第四步利用角的范围和三角函数性质求出最值第五步检验易错易混，规范解题步骤得出结论训练3(1)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝()A.833B.2393C.2633D.23(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的