第4章 三角函数、解三角形 第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

第5节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用考试要求1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)一个周期内的简图时，要找五个关键点x－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin2x.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.()答案(1)√(2)×(3)√(4)√解析(2)以y＝sinx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象为例，“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.2.(易错题)y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为()A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π3答案C解析由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.3.(2022·郑州模拟)人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)＝101＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则下列说法正确的是()A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值C.收缩压高于标准值，舒张压低于标准值D.收缩压低于标准值，舒张压高于标准值答案C解析p(t)＝101＋25sin(160πt)，∵－1≤sin(160πt)≤1，∴p(t)∈[76，126]，即收缩压为126mmHg，舒张压为76mmHg.又知120/80mmHg为标准值，∴收缩压高于标准值，舒张压低于标准值.4.(易错题)将函数y＝3sin2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是____________.答案y＝3cos2x解析由y＝3sin2x的图象向左平移π4个单位长度，可得到y＝3sin2(x＋π4)＝3sin(2x＋π2)＝3cos2x.5.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则fπ2＝________.答案－3解析法一(五点作图法)由题图可知34T＝13π12－π3＝3π4(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos(2x＋φ).点π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，故f(x)＝2cos2x－π6，所以fπ2＝2cos2×π2－π6＝－2cosπ6＝－3.法二(代点法)由题意知，34T＝13π12－π3＝3π4(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，2πω＝π，即ω＝2.又点π3，0在函数f(x)的图象上，所以2cos2×π3＋φ＝0，所以2×π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z).又|φ|＜π2，所以令k＝0，得φ＝－π6，所以f(x)＝2cos2x－π6，所以fπ2＝2cos2×π2－π6＝－2cosπ6＝－3.6.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.则这段曲线的函数解析式为____________________.答案y＝10sinπ6x＋π6＋40，x∈[8，14]解析观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，∴A＝12×(50－30)＝10，b＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6，∴y＝10sinπ6x＋φ＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y＝10sinπ6x＋π6＋40，x∈[8，14].考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1(经典母题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－π2φπ2)的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？解(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x＝π6时，f(x)取得最大值2，所以A＝2，同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ＋π6，k∈Z.因为－π2φπ2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6.(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π6，13π6.列表如下：2x＋π6π6π2π3π22π13π6x0π65π122π311π12πf(x)120－201描点、连线得图象：(3)将y＝sinx的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sinx＋π6的图象，再将y＝sinx＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x＋π6的图象，再将y＝sin2x＋π6上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin2x＋π6的图象.迁移本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cosx的图象经过怎样的变换得到？解因为f(x)＝2sin2x＋π6＝2cos2x＋π6－π2＝2cos2x－π3，将y＝cosx的图象上的所有点向右平移π3个单位长度，得到函数y＝cosx－π3的图象，再将y＝cosx－π3的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝cos2x－π3的图象，再将y＝cos2x－π3上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos2x－π3图象，即为f(x)＝2sin2x＋π6的图象.感悟提升作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.训练1(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sinx－π4的图象，则f(x)＝()A.sinx2－7π12B.sinx2＋π12C.sin2x－7π12D.sin2x＋π12答案B解析依题意，将y＝sinx－π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sinx－π4的图象――――――――――――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍f（x）＝sinx2＋π12的图象．考点二由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式1．（2020·全国Ⅰ卷改编）设函数f（x）＝cosωx＋π6在[－π，π]的图象大致如下图，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝cos－32x＋π6B．f（x）＝cos32x＋π6C．f（x）＝cos34x－π6D．f（x）＝cos34x＋π6答案B解析由图象知π＜T＜2π，即π＜2π|ω|＜2π，所以1＜|ω|＜2.因为图象过点－4π9，0，所以cos－4π9ω＋π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，所以ω＝－94k－34，k∈Z.因为1＜|ω|＜2，故k＝－1，得ω＝32，所以f（x）＝cos32x＋π6.2.（2022·南昌模拟）函数f（x）＝sinωx＋π6（ω＞0）的部分图象如图所示，若△ABC的面积为π4，则ω＝（）A.32B.2C.3π2D.2π答案A解析由题图知|AC|＝34T（T为f（x）的最小正周期），点B的纵坐标yB＝sinπ6＝12，所以S△ABC＝12×|AC|×yB＝12×34T×12＝π4，解得T＝4π3，所以ω＝2πT＝32.3.函数f（x）＝2sin()ωx＋φ（ω0，－π2φπ2）的部分图象如图所示，则ω＝，φ＝.答案2－π3解析设f（x）的最小正周期为T，由题中图象可知34T＝5π12－－π3，得T＝π，则ω＝2πT＝2ππ＝2.又图象过点5π12，2，则f5π12＝2，即2sin5π6＋φ＝2，则sin5π6＋φ＝1.∵－π2φπ2，∴π3φ＋5π64π3，∴5π6＋φ＝π2，∴φ＝－π3.感悟提升根据三角函数图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑：（1）根据最大值或最小值求出A的值.（2）根据周期求出ω的值.（3）求φ的常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入.②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.考点三三角函数图象、性质的应用例2（1）（2022·成都诊断）已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）ω＞0，－π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，若将函数f（x）的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A.－π3，π6B.π4，7π12C.0，π3D.π2，5π6（2）（2021·长春模拟）已知x＝5π12是函数f（x）＝2sin（2x＋φ）|φ|＜π2的一个极大值点，若方程f（x）＝m在0，π2上有且仅有一个实根，则实数m的取值范围是（）A.[－3，3）∪{2}B.[0，3）∪{2}C.[－2，3]∪{2}D.[3，2]答案（1）B（2）A解析（1）因为函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，所以T2＝π2，即T＝π，即2πω＝π，ω＝2，得f（x）＝sin（2x＋θ），将f（x）的图象向左平移π6个单位长度后，得到g（x）＝sin2x＋π3＋θ的图象.因为g（x）为偶函数，所以π3