第5章 平面向量与复数 第2节　平面向量基本定理及坐标表示

第2节平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.了解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)共线向量不可以作为基底.(3)若b＝(0，0)，则x1x2＝y1y2无意义.2.若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为()A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)答案A解析由题意得P1P→＝13P1P2→且P1P2→＝(3，－3)，设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝13(3，－3)，所以x＝2，y＝2，则点P(2，2).3.(2021·银川质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为()A.－65，85B.(－6，8)C.65，－85D.(6，－8)答案D解析因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ0，则|b|＝9λ2＋16λ2＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).4.(易错题)给出下列三个向量：a＝12，32，b＝(1，－3)，c＝(－2，6).从三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________.答案2解析易知b∥c，a与b不共线，a与c不共线，所以能构成基底的组数为2.5.(易错题)已知A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量AB→共线的单位向量是________.答案±35，－45解析∵AB→＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)，∴|AB→|＝5.故与向量AB→共线的单位向量坐标为±35，－45.6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.答案85解析法一(定义法)因为a∥b，所以存在实数k，使a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得kλ＝2，4k＝5，解得λ＝85，k＝54.法二(结论法)因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝85.考点一平面向量的坐标运算1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA→＝32，12，若OA→绕点O逆时针旋转60°得到向量OB→，则OB→＝()A.(0，1)B.(1，0)C.32，－12D.12，－32答案A解析∵OA→＝32，12，∴OA→与x轴的夹角为30°，依题意，向量OB→与x轴的夹角为90°，则点B在y轴正半轴上，且|OB→|＝|OA→|＝1，∴点B(0，1)，则OB→＝(0，1).2.如图所示，以e1，e2为基底，则a＝________.答案－2e1＋e2解析以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，令a＝xe1＋ye2，即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－1，1)，则x－y＝－3，y＝1，所以x＝－2，y＝1，即a＝－2e1＋e2.3.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC→|＝2|AC→|，则向量OB→的坐标是________.答案(4，7)解析由点C是线段AB上一点，且|BC→|＝2|AC→|，得BC→＝－2AC→.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即2－x＝－2，3－y＝－4，解得x＝4，y＝7，所以向量OB→的坐标是(4，7).感悟提升1.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.2.向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用.考点二平面向量基本定理及其应用例1如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB→分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值.解(1)依题意，A是BC的中点，∴2OA→＝OB→＋OC→，即OC→＝2OA→－OB→＝2a－b.DC→＝OC→－OD→＝OC→－23OB→＝2a－b－23b＝2a－53b.(2)设OE→＝λOA→(0λ1)，则CE→＝OE→－OC→＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.∵CE→与DC→共线，∴存在实数k，使CE→＝kDC→，(λ－2)a＋b＝k2a－53b，解得λ＝45.感悟提升1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.训练1(2022·贵阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，CE→＝－2DE→，若EF→＝xAB→＋yAD→，则x＋y＝()A.1B.6C.16D.13答案C解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB→＝DC→，AD→＝BC→，又CE→＝－2DE→，所以ED→＝－13DC→＝－13AB→，连接AF，在△AEF中，所以EF→＝EA→＋AF→＝ED→－AD→＋AB→＋BF→＝－13AB→－AD→＋AB→＋12AD→＝23AB→－12AD→，又因为EF→＝xAB→＋yAD→，所以x＝23，y＝－12，故x＋y＝16.考点三平面向量共线的坐标表示角度1利用向量共线求向量或点的坐标例2已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________.答案(3，3)解析法一由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4，4λ).又AC→＝OC→－OA→＝(－2，6)，由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3).法二设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4，4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.①又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2，6)，且AP→与AC→共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，即3x＋y－12＝0，②联立①②解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).角度2利用向量共线求参数例3(1)已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是()A.－23B.－13C.13D.23(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________.答案(1)A(2)－2解析(1)AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2).因为A，B，C三点共线，所以AB→，AC→共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.(2)∵a＝(2，1)，b＝(x，－1)，∴a－b＝(2－x，2).又∵a－b与b共线，∴(2－x)×(－1)－2x＝0，∴x＝－2.感悟提升1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.训练2(1)设向量OA→＝(1，－2)，OB→＝(2m，－1)，OC→＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为()A.－3B.－2C.2D.3(2)(2021·太原联考)已知向量e1＝(1，1)，e2＝(0，1)，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ＝________.答案(1)A(2)－32解析(1)易知，AB→∥AC→，其中AB→＝OB→－OA→＝(2m－1，1)，AC→＝OC→－OA→＝(－2n－1，2)，所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得2m＋1＋2n＝1.又2m＋1＋2n≥22m＋n＋1，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3(当且仅当m＝－2，n＝－1时取等号).(2)由题意知a＝e1＋λe2＝(1，1＋λ)，b＝－(2e1－3e2)＝(－2，1).由于a∥b，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－32.1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB→的坐标是()A.(2，2)B.(－2，－2)C.(1，1)D.(－1，－1)答案D解析因为A(2，2)，B(1，1)，所以AB→＝(－1，－1).2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)答案B解析对于A，C，D都有e1∥e2，所以只有B成立.3.(2022·东北师大附中等五校联考)已知向量a＝13，tanα，b＝(cosα，1)，α∈π2，π，且a∥b，则sinα－π2＝()A.－13B.13C.223D.－223答案C解析由题意得13＝tanα·cosα＝sinα.又α∈π2，π，知cosα＝－223，所以sinα－π2＝－cosα＝223.4.(2021·郑州质检)已知向量AB→＝(1，4)，BC→＝(m，－1)，若AB→∥AC→，则实数m的值为()A.14B.－4C.4D.－14答案D解析∵向量AB→＝(1，4)，BC→＝(m，－1)，∴AC→＝AB→＋BC→＝(1＋m，3).又AB→∥AC→，所以1×3－4(1＋m)＝0，解得m＝－14.5.如图，在△ABC中，AN→＝2NC→，P是线段BN上一点，若AP→＝tAB→＋13AC→，则实数t的值为()A.16B.23C.12D.34答案C解析