第6章 数列 第3节　等比数列及其前n项和

第3节等比数列及其前n项和考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.那么Ga＝bG，即G2＝ab.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an，{an·bn}，anbn也是等比数列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为xq，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为xq3，xq，xq，xq3.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a（1－an）1－a.()(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)在等比数列中，q≠0.(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a＝1时，Sn＝na.(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.2.(2021·北京一模)已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝()A.－32B.－16C.16D.32答案D解析因为q＝－2，S6＝21，则有S6＝a1[1－（－2）6]1＋2＝a1（－63）3＝－21a1＝21，即a1＝－1，所以a6＝a1q5＝(－1)×(－2)5＝32.3.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝()A.7B.8C.9D.10答案A解析易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.4.若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法不正确的是()A.若a1＞0，0＜q＜1，则{an}为递减数列B.若a1＜0，0＜q＜1，则{an}为递增数列C.若q＞0，则S4＋S6＞2S5D.若bn＝1an，则{bn}是等比数列答案C解析A，B显然是正确的；C中，若a1＝1，q＝12，则a6＜a5，即S6－S5＜S5－S4，故C错误；D中，bn＋1bn＝anan＋1＝1q(q≠0)，∴{bn}是等比数列.5.(2022·全国百校大联考)已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________.答案4解析设公比为q，则an＝a1qn－1，则a1·a1q2·a1q10＝8，所以a31q12＝8，所以a1q4＝2，所以a2a8＝a1q·a1q7＝a21q8＝(a1q4)2＝4.6.(易错题)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是________.答案1或－12解析当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，a1q2＝7，a1（1－q3）1－q＝21，得q＝－12.综上，q的值是1或－12.考点一等比数列基本量的运算1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A.16B.8C.4D.2答案C解析设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4.因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2.又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.2.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则Snan＝()A.2n－1B.2－21－nC.2－2n－1D.21－n－1答案B解析设等比数列{an}的公比为q，则q＝a6－a4a5－a3＝2412＝2.所以Snan＝a1（1－2n）1－2a12n－1＝2n－12n－1＝2－21－n.3.设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________.答案1213解析由a24＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝1a1＝3.所以S5＝a1（1－q5）1－q＝13（1－35）1－3＝1213.4.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.解(1)设{an}的公比为q(q1)，且a2＋a4＝20，a3＝8.∴a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8消去a1，得q＋1q＝52，则q＝2，或q＝12(舍).因此q＝2，a1＝2，所以{an}的通项公式an＝2n.(2)易知(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·22n＋1，则数列{(－1)n－122n＋1}公比为－4.故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1·anan＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1＝23[1－（－4）n]1＋4＝85[1－(－4)n]＝85－(－1)n·22n＋35.感悟提升1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.考点二等比数列的判定与证明例1Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解(1)易知q≠1，由题意可得a1q3＝9a1q，a1（1－q3）1－q＝13，q0，解得a1＝1，q＝3，∴an＝3n－1，Sn＝1－3n1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时Sn＋12＝12×3n，则Sn＋1＋12Sn＋12＝12×3n＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列{Sn＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列.感悟提升1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.训练1已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明∵an＋Sn＝n①，∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1②.②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，所以2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，又a1＋a1＝1，所以a1＝12，∴a1－1＝－12≠0，因为an＋1－1an－1＝12，∴cn＋1cn＝12.故{cn}是以c1＝a1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列.(2)解由(1)知cn＝－12×12n－1＝－12n.∵cn＝an－1，∴an＝1－12n.考点三等比数列的性质及应用角度1项与和的性质例2(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝()A.6B.5C.4D.1＋log352(2)(2021·衡水模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40＝________.答案(1)B(2)15解析(1)log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝log9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log995＝5，故选B.(2)∵等比数列{an}的前n项和为S10＝1，S30＝7，∴S10、S20－S10、S30－S20、S40－S30成等比数列，即1、S20－1、7－S20、S40－7成等比数列，∴(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍)，所以1、2、4、S40－7成等比数列，所以S40－7＝8，解得S40＝15.角度2等比数列的最值例3数列{an}的前n项和为Sn，且3an＋Sn＝4(n∈N*)，设bn＝nan，则数列{bn}的项的最大值为()A.8164B.2716C.32D.2答案B解析由条件可知：3an＋Sn＝4，3an－1＋Sn－1＝4(n≥2).相减，得an＝34an－1.又3a1＋S1＝4a1＝4，故a1＝1.则an＝34n－1，bn＝n34n－1.设{bn}中最大的项为bn，则bn≥bn－1，bn≥bn＋1.即n34n－1≥（n－1）34n－2，n34n－1≥（n＋1）34n.解之得3≤n≤4.∴{bn}的项的最大值为b3＝b4＝2716.感悟提升(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.训练2(1)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为()A.8B.9C.10D.11(2)(2022·成都诊断)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A.25B.20C.15D.10(3)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝________.答案(1)B(2)B(3)73解析(1)∵公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4，由a2am＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.(2)在正项等比数列{an}中，Sn0，因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4，易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，所以S12－S8＝（S4＋5）2S4＝25S4＋S4＋10≥225S4·S4＋10＝20(当且仅当S4＝5时取等号)因为a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.(3)法一由等比数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S