第8章 立体几何 第2节　空间几何体的表面积和体积

第2节空间几何体的表面积和体积考试要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR31.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.3.正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.2.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1cmB.2cmC.3cmD.32cm答案B解析设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.答案1∶47解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－148abc＝4748abc.所以V1∶V2＝1∶47.4.(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.24πC.36πD.144π答案C解析设球的半径为R，由题意知球的直径2R＝（23）2＋（23）2＋（23）2，得R＝3，该球的表面积S＝4πR2＝36π.故选C.5.(2021·北京卷)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为()A.3＋32B.12C.1＋32D.32答案A解析根据三视图知该四面体为三棱锥S－ABC，如图所示(其中正方体的棱长为1)，故S表＝3×12×1×1＋34×(1＋1)＝3＋32.故选A.6.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2B.22C.4D.42答案B解析设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为2，侧面展开图为一个半圆，所以2π×2＝πl，解得l＝22.考点一空间几何体的表面积与侧面积1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π答案B解析由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为8的正方形，则圆柱的高与底面直径均为22.设圆柱的底面半径为r，则2r＝22，得r＝2.所以圆柱的表面积S圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π(2)2＋2π×2×22＝4π＋8π＝12π.2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6＋3B.6＋23C.12＋3D.12＋23答案D解析由三视图知该几何体为正棱柱，且底面是边长为2的正三角形，高为2，则表面积为S＝2S底＋S侧＝2×34×22＋3×22＝23＋12.故选D.3.(2021·贵阳诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是()A.23πB.324πC.223πD.22π答案C解析如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D.AE＝23AD，AD＝32，∴AE＝23×32＝33，∴PE＝PA2－AE2＝63.设圆柱底面半径为r，则r＝AE＝33，∴圆柱的侧面积S＝2πr·PE＝2π×33×63＝22π3.4.(2022·成都诊断)已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是23.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为________.答案(6＋43)π解析如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴34×AC2＝23，解得AC＝22.∵AC与圆锥底面所成的角是30°，∴圆锥底面半径r＝OC＝ACcos30°＝22×32＝6.则该圆锥的表面积＝π×(6)2＋12×2π×6×22＝(6＋43)π.感悟提升空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.考点二空间几何体的体积角度1简单几何体的体积例1(1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A.158B.162C.182D.324(2)(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()A.20＋123B.282C.563D.2823答案(1)B(2)D解析(1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S＝2＋62×3＋4＋62×3＝27.因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.(2)连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝22－（22－2）2＝2，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝13h(S1＋S2＋S1S2)＝13×2×(16＋4＋64)＝2823.感悟提升1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公式计算.2.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.训练1(1)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.答案(1)1(2)163π解析(1)如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝13×32×2＝1.(2)由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为π×22×2－13π×22×2＝163π.角度2不规则几何体的体积例2如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.答案23解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.依题意，三棱锥E－ADG的高EG＝12，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.则AG＝AE2－EG2＝12－122＝32.取AD的中点M，则MG＝22，所以S△AGD＝12×1×22＝24，∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝13×24×12×2＋24×1＝23.感悟提升1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.2.本题利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱(也可分割成四棱锥).另外，经常考虑把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等.训练2某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.73B.143C.3D.6答案A解析由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组成的组合体，它们的公共面是等腰直角三角形，如图所示.由三视图知，三棱柱ABC－A′B′C′的高为2，三棱锥P－A′B′C′的高为1，又S△ABC＝12×2×1＝1，所以该几何体体积V＝V三棱锥P－A′B′C′＋V棱柱ABC－A′B′C′＝13×1×1＋1×2＝73(cm3).考点三与球有关的切、接问题角度1外接球例3(1)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________.(2)已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为43，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.答案(1)132(2)64π解析(1)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.(2)如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O.∵在正三棱锥S－ABC中，底面边长为6，侧棱长为43，∴BE＝23×32×6＝23，∴SE＝SB2－BE2＝6.∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径R，∴OB＝R，OE＝6－R.在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.感悟提升(1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.角度2内切球例4(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.答案23π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝22，△PEO∽△PDB，故POPB＝OEDB，即22－r3＝r1，解得r＝22，故内切球的体积为43π223＝23π.感悟提升“切”的问题处理规律(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.训练3(1)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为()A.6π6B.π3C.π6D.3π3(2)(2022·衡阳联考)设圆锥的顶点为A，B