第9章 平面解析几何 第1节　直线的方程

第1节直线的方程考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).2.直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α.(2)计算公式①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝y2－y1x2－x1.②若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝yx.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α00απ2π2π2απk0k0不存在k02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.2.(易错题)若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为()A.0B.π4C.π2D.不存在答案C解析因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α＝π2.3.(2022·菏泽模拟)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A.1B.4C.1或3D.1或4答案A解析由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.4.(2021·兰州模拟)已知直线l过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是()A.3x＋y－6＝0B.x＋3y－10＝0C.3x－y＝0D.x－3y＋8＝0答案A解析设直线l的方程为xa＋yb＝1(a0，b0).由题意得1a＋3b＝1，12ab＝6，解得a＝2，b＝6.故直线l的方程为x2＋y6＝1，即3x＋y－6＝0.5.(2021·郑州质检)过点P(2，－3)且倾斜角为45°的直线的方程为________________.答案x－y－5＝0解析倾斜角45°的直线的斜率为tan45°＝1，又经过点P(2，－3)，∴直线方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.6.(易错题)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.考点一直线的倾斜角与斜率例1(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________.答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析法一设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－3，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1－k)(－3－k)≤0，即(k－1)(k＋3)≥0，解得k≥1或k≤－3.即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).迁移若将例1中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围.解设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1＋k)(－3＋k)≤0，即(3k－1)(k－3)≤0，解得13≤k≤3.即直线l的斜率的取值范围是13，3.感悟提升1.由直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线的倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tanx在0，π2∪π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在0，π2∪π2，π上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.训练1(2022·齐齐哈尔调研)已知点(－1，2)和33，0在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l的倾斜角的取值范围为()A.π4，π3B.0，π3∪3π4，πC.3π4，5π6D.2π3，3π4答案D解析因为点(－1，2)和33，0在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，所以(－a－2＋1)·33a－0＋10，即(a＋1)(a＋3)0，解得－3a－1，又直线l的斜率k＝a，所以－3k－1，且直线的倾斜角范围为[0，π)，所以直线l的倾斜角的取值范围为2π3，3π4.考点二求直线的方程1.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是()A.x＋y－3＝0B.x－3y－2＝0C.3x－y＋6＝0D.3x＋y－6＝0答案D解析设直线l的倾斜角为α，则tanα＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan()α＋45°＝2＋11－2×1＝－3，又点M(2，0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.2.直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010的直线方程为________________.答案x±3y＋4＝0解析由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sinα＝1010(α∈[0，π))，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线的方程为y＝±13(x＋4)，即x±3y＋4＝0.3.过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________________.答案x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0解析由题意可设直线方程为xa＋yb＝1.则a＋b＝6，2a＋1b＝1，解得a＝3，b＝3或a＝4，b＝2.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.感悟提升1.求直线方程一般有以下两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).,考点三直线方程的综合应用例2已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1.∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，解得k0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).(3)解由题意可知k≠0，再由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0，1＋2k).依题意得－1＋2kk0，1＋2k0，解得k0.∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋2kk·|1＋2k|＝12·（1＋2k）2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k0且4k＝1k，即k＝12，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.感悟提升1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.训练2(1)已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标：①若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________；②若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________；③若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________.(2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a＝________.答案(1)①(0，3)②(－3，0)③(3，0)(2)12解析(1)①当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0，3).②直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3，0).③当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3，0).(2)由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝12×2(2－a)＋12×2(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋154，又0a2，所以当a＝12时，面积最小.1.(2022·济南调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为()A.30°B.45°C.120°D.150°答案B解析由题意得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tanα＝1，又0°≤α180°，故α＝45°.2.(2021·广东七校联考)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是()A.(－2，1)B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案A解析由题意知2a－1－a3－1＋a0，即a－12＋a0，解得－2a1.3.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2答案D解析直线l1的倾斜角α1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2α3，所以0k3k2，因此k1k3k2.4.若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝()A.1±2或0B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0答案A解析由题意知kAB＝kAC，即a2＋a2－1＝