第9章 平面解析几何 第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由（x－a）2＋（y－b）2＝r2，Ax＋By＋C＝0消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ0Δ＝0Δ0几何观点drd＝rdr2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝1＋k2·（xM＋xN）2－4xM·xN.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＋2＝0有公共点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m，圆心为(1，2)，半径r＝3－m(m3).若直线l与圆C有公共点，则圆心(1，2)到直线l的距离d＝|3－m|2≤3－m，解得1≤m3.因为{m|1≤m≤2}{m|1≤m3}，所以“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l：x－2y＋6＝0与圆C：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，则CA→·CB→＝()A.165B.－165C.125D.－125答案D解析由圆的一般方程x2＋y2－4y＝0得标准方程为x2＋(y－2)2＝4，故可得圆心C(0，2)，半径r＝2，联立得x－2y＋6＝0，x2＋y2－4y＝0，解得x＝－2，y＝2或x＝65，y＝185.不妨设A(－2，2)，B65，185，则CA→＝(－2，0)，CB→＝65，85，所以CA→·CB→＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a＝________.答案±2解析两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a2＋ay－6＝0，原点到a2＋ay－6＝0的距离为d＝6a－a.∵公共弦长为23，∴a2＝(3)2＋6a－a2，∴a2＝4，a＝±2.5.(易错题)若半径为r，圆心为(0，1)的圆和定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则r的值等于________.答案2＋1或2－1解析由题意，定圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心为A(1，2)，半径R＝1，半径为r的圆的圆心为B(0，1)，所以|AB|＝（1－0）2＋（2－1）2＝2.因为两圆相切，所以|AB|＝|R－r|或|AB|＝|R＋r|，即|1－r|＝2或|1＋r|＝2，解得r＝1±2或r＝－1±2.因为r0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝132，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.2.(2022·成都诊断)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定答案A解析法一(代数法)由mx－y＋1－m＝0，x2＋（y－1）2＝5，消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋200，所以直线l与圆相交.法二(几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝|－m|m2＋115，故直线l与圆相交.法三易得直线l过定点(1，1)，把点(1，1)代入圆的方程有1＋05，∴点(1，1)在圆的内部，故直线l与圆C相交.3.“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有|a－3＋4|2＝22，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1(1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B.2C.2D.22(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝22.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC|＝22，弦的长度l＝2r2－|MC|2＝29－8＝2.感悟提升弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.训练1(2022·南昌摸底测试)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为()A.π2B.πC.2πD.3π答案B解析圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径r＝2.直线的方程可化为x－1＋a(y－1)＝0，可知直线恒过点D(1，1).因为点D(1，1)的坐标满足(1－2)2＋124，所以点D(1，1)恒在圆C内，且|CD|＝2，易知，当CD⊥AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2r2－|CD|2＝22.此时，劣弧AB对应的圆心角为π2，所以劣弧AB对应的弧长为π2×2＝π.考点三圆的切线问题例2(经典母题)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案x＝2或4x－3y＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k－1＋4－2k|k2＋（－1）2＝|3－k|k2＋1＝1，解得k＝43，∴所求切线方程为43x－y＋4－2×43＝0，即4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.迁移1在例2中，若点P坐标变为22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解易知点P22＋1，22＋1在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上，则kPC＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y－22＋1＝－x－22＋1，即x＋y－2－2＝0.迁移2在例2中，已知条件不变，设两个切点为A，B，求切点弦AB所在的直线方程.解由题意得，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，此圆的方程为(x－2)(x－1)＋(y－4)(y－1)＝0，整理得x2＋y2－3x－5y＋6＝0.①圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1展开得x2＋y2－2x－2y＋1＝0，②由②－①得x＋3y－5＝0，即为直线AB的方程.感悟提升求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2(1)过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为()A.19B.25C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P(2，3)作圆C：x2＋y2－2x＝0的两条切线，切点分别为A，B，则PA→·PB→＝________.答案(1)A(2)32解析(1)圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y＝2x＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y＝2x＋3的距离d，d＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d2－r2＝19.(2)由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，所以圆心C(1，0)，半径为1，所以|PC|＝2，|PA|＝|PB|＝3，∠APB＝60°，所以PA→·PB→＝|PA→||PB→|cos60°＝32.考点四圆与圆的位置关系例3已知两圆x2＋y2－2x