易错点10不等式答案-备战2023年高考数学易错题

易错点10不等式易错点1：线性规划求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.易错点2：基本不等式均值不等式)0,(2222bababaab（当仅当a=b时取等号）注意：①一正二定三相等；②变形：)∈,(2≤)2(≤222Rbababaab++（当仅当a=b时取等号）易错点3：绝对值不等式(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．易错点4：柯西不等式(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a21＋a22＋…＋a2n)(1a21＋1a22＋…＋1a2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．题组1线性规划1．（2021浙江卷）若实数,xy满足约束条件0231010xxyxy，则12zxy的最小值是（）.A．2B．32C．12D．110【答案】B【解析】如图，画出可行域，显然过点1,1时，取到最小值，即min13122z，故选B．2．（2021年全国乙卷文）若x，y满足约束条件4,2,3,xyxyyì+ïï-íïïî≥≤≤则3zxy=+的最小值为A．18B．10C．6D．4【答案】C【解析】由约束条件可得可行域如图所示，当直线3zxy=+过点(1,3)B时，z取最小值为6，故选C．3．（2021上海卷）已知2203803xxxyy，zxy，则z的最大值为___________．【答案】4【解析】画出可行域易得最优解为3,1，所以z的最大值为44.（2020•全国1卷）若x，y满足约束条件220,10,10,xyxyy则z＝x＋7y的最大值为______【答案】1.【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7zxy即：1177yxz，xyCBA123456–112345–1–2–3O其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：22010xyxy，可得点A的坐标为：()1,0A，据此可知目标函数的最大值为：max1701z.故答案为：1．题组2基本不等式5．（2021年全国乙卷文）下列函数最小值为4的是（）A．224yxxB．4sinsinyxxC．222xxyD．4lnlnyxx【答案】C【解析】由题意可知A的最小值为3，B的等号成立条件不成立，D无最小值．6．（2020年新全国1山东）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（）A.2212abB.122abC.22loglog2abD.2ab【答案】ABD【解析】对于A，222221221abaaaa21211222a，当且仅当12ab时，等号成立，故A正确；对于B，211aba，所以11222ab，故B正确；对于C，2222221logloglogloglog224ababab，当且仅当12ab时，等号成立，故C不正确；对于D，因为21212ababab，所以2ab，当且仅当12ab时，等号成立，故D正确；故选：ABD7.（2020年天津卷）已知0,0ab，且1ab，则11822abab的最小值为_____．【答案】4【解析】0,0,0abab，1ab,11882222abababababab882422abababab，当且仅当ab＝4时取等号，结合1ab,解得23,23ab，或23,23ab时，等号成立.故答案为：48.（2020年江苏卷）已知22451(,)xyyxyR，则22xy的最小值是_______．【答案】45【解析】∵22451xyy,∴0y且42215yxy∴422222222114144+2555555yyyxyyyyy，当且仅当221455yy，即2231,102xy时取等号.∴22xy的最小值为45.故答案为：45.题组3含绝对值不等式9.（2021年全国甲卷）已知函数()2fxx，()2321gxxx.（1）画出()yfx和()ygx的图像.（2）若()()fxagx，求a的取值范围.【答案】见解析【解析】易知34,231()42,2214,2xgxxxx则()yfx和()ygx的图像为（1）由（1）中的图可知，()yfxa是()yfx左右平移a个单位得到的结果，向右平移不合题意，向左平移至()yfxa的右支过点曲线，()ygx上的1(,4)2点为临界状态，此时()yfxa右支的解析式为2yxa，由点1(,4)2在2yxa可知1422a，解得112a，若要满足题意，则()yfxa要再向左平移，则112a,则a的取值范围为11[,)210.（2021年全国乙卷）已知函数()|||3|fxxax.（1）当1a时，求不等式()fx≥6的解集；（2）若()fxa，求a的取值范围.【答案】（1）(,4][2,)；（2）3(,)2a【解析】（1）当1a时，()fx≥6|1||3|xx≥6，当x≤3时，不等式13xx≥6，解得x≤4；当31x时，不等式13xx≥6，解得x；当x≥1时，不等式13xx≥6，解得x≥2.综上，原不等式的解集为(,4][2,).（2）若()fxa，即min()fxa，因为()|||3|fxxax≥|()(3)|xax|3|a（当且仅当()(3)xax≤0时，等号成立），所以min()|3|fxa，所以|3|aa，即3aa或3aa，解得3(,)2a.11．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数3121fxxx．（1）画出yfx的图像；（2）求不等式1fxfx的解集．【解析】（1）∵3,1151,1313,3xxfxxxxx，作出图像，如图所示：（2）将函数fx的图像向左平移1个单位，可得函数1fx的图像，如图所示：由3511xx，解得76x，∴不等式的解集为7,6．12．（2020江苏23）设xR，解不等式2|1|||4xx．【答案】22,3【解析】1224xxx或10224xxx或0224xxx，21x或10x或203x，∴解集为22,3．题组4格西不等式13．（2021年浙江卷）已知平面向量a，b，0cc满足1a，2b，0ab，0abc．记平面向量d在a，b方向上的投影分别为x，y，da在c方向上的投影为z，则222xyz的最小值是．【答案】25【解析】设1,0,0,2,2,,,mmxyabcd，122255dacxmymxyzcm，22222222222222222225454155xyxxyxyxyxyzxyy（当且仅当22245xxyy时，即21,55xy时，取得等号）．14．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；222111abcabc（2）．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【解析】（1）因为，又，故有，∴．（2）因为为正数且，故有=24．∴．1.下列不等式恒成立的是（）A.222ababB.22-2ababC.2ababD.2abab【解析】B2．若0ab，0cd，则一定有A．abcdB．abcdC．abdcD．abdc【解析】由1100cddc，又0ab，由不等式性质知：0abdc，所以abdc3．已知0a，0b，321ba，则23ab的最小值为（）A．20B．24C．25D．28【解析】由题意236666()()23252313132abababbaabbaab，当且仅当66abba，即5ab时等号成立．故选：C．4．若实数x、y满足不等式组0022xyxy，则3zxy的取值范围为（）333()()()24abbcca2222222,2,2ababbcbccaac1abc222111abbccaabcabbccaabcabc222111abcabc,,abc1abc3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)abbcac3(2)(2)(2)abbcac333()()()24abbccaA．,3B．2,3C．2,D．3,【解析】如图，绘出不等式组0022xyxy表示的平面区域，然后通过平移直线13yx即可得出过点2,0时z取得最小值2，无最大值，则3zxy的取值范围为2,，故选：C.5．设x，y满足约束条件326600xyxy≤≥≥，则zxy的取值范围是A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2]D．[0,3]【解析】不等式组的可行域如图，目标函数的几何意义可得函数在点0,3A处取得最小值033z.在点2,0B处取得最大值202z，选B．6.（多选题）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（）A.2212abB.122abC.22loglog2abD.2abxyBA–11234–11234O【解析】对于A，222221221abaaaa21211222a，当且仅当12ab时，等号成立，故A正确；对于B，211aba，所以11222ab，故B正确；对于C，2222221logloglogloglog224ababab，当且仅当12ab时，等号成立，故C不正确；对于D，因为21212ababab，所以2ab，当且仅当12ab时，等号成立，故D正确；故选：ABD7.若,xy满足约束条件02020xyxyx，则2zyx的最小值为____________.【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将2zyx化为2yxz，则数形结合可得，当直线2yxz过点2,0B时，z取得最小值为0224.故答案为：48.设，，，则的最小值为__________.【解析】，，，而.由基本不等式有，所以（当且仅当时，即，0x0y24xy(1)(21)xyxy0x0y24xy121