易错点17 双曲线答案-备战2023年高考数学易错题

易错点17双曲线易错点1：焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道,,abc之间的大小关系和等量关系：易错点2：双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径；易错点3：直线与双曲线的位置关系（1）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.题组一：定义与标准方程1．（2015福建理）若双曲线22:1916xyE的左、右焦点分别为12,FF，点P在双曲线E上，且13PF，则2PF等于（）A．11B．9C．5D．3【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．2．（2019年新课标1卷）已知椭圆C的焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，过2F的直线与C交于A，B两点．若22||2||AFFB，1||||ABBF，则C的方程为()A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy【答案】B【解答】∵22||2||AFFB，∴23ABBF，又1||||ABBF，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝2a，∴|AF2|＝a，|BF1|＝32a，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝1a，1226PFPFa236PF29PF在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝223422222aaa，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得214202aaa，解得a2＝3，∴3a．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为22132xy故选：B．3．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程为52yx，且与椭圆221123xy有公共焦点，则C的方程为A．221810xyB．22145xyC．22154xyD．22143xy【答案】B【解析】由题意可得：52ba，3c，又222abc，解得24a，25b，则C的方程为2145xy，故选B．4.（2016年新课标1卷）已知方程132222nmynmx表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)【答案】A【解析】由题意知c=2,2224=3,1mnmnm解得,因为方程132222nmynmx表示双曲线，所以2230,130mnmnnn可得解得-1n3,故选A.题组二：焦点三角形5．（2020·新课标Ⅰ文）设12,FF是双曲线22:13yCx的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP，则12PFF△的面积为（）A．72B．3C．52D．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)FF，则1,2ac，∵121||1||2OPFF，∴点P在以12FF为直径的圆上，即12FFP是以P为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PFPFFF，即2212||||16PFPF，又12||||22PFPFa，∴2124||||PFPF2212||||2PFPF12||||162PFPF12||||PFPF，解得12||||6PFPF，∴12FFPS△121||||32PFPF，故选B．6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点12,FF，离心率为5．P是C上的一点，且PFPF21．若21FPF的面积为4，则a（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】解法一：5ca，5ca，根据双曲线的定义可得122PFPFa，12121||42PFFPFFSP△，即12||8PFPF，12FPFP，22212||2PFPFc，22121224PFPFPFPFc，即22540aa，解得1a，故选A．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan221bSFPF．∴45tan2b=4，则2b，又∵5ace，∴1a．解法三：设nPFmPF21,，则421mnSFPF，anm2，5,4222acecnm，求的1a．7.（2015全国1卷）已知00(,)Mxy是双曲线22:12xCy上的一点，12,FF是C上的两个焦点，若120MFMF，则0y的取值范围是（）A.33,33B.33,66C.2222,33D.2323,33【答案】A【解析】法1：根据题意12,FF的坐标分别为3,0,3,0，所以1002003,,3,,MFxyMFxy所以2221200000003,3,3310MFMFxyxyxyy所以03333y.故选A.秒杀法2：012==90FMF当当由等面积得：33y⇒y212tan00212===FFbSθ因为120MFMF，所以12FMF为钝角，根据变化规律，可得3333-0y故选A.8．(2016全国II理)已知1F，2F是双曲线E：22221xyab的左、右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MFF，则E的离心率为（）A．2B．32C．3D．2【答案】A【解析】设1(,0)Fc，将xc代入双曲线方程，得22221cyab，化简得2bya，因为211sin3MFF，所以222212112||tan||222bMFbcaaMFFFFcacac1222224caeace，所以22102ee，所以2e，故选A．题组三：渐进线9．（2019全国3卷）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为22:142xyCFPCO坐标原点，若，则的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨设点在第一象限，可得，，所以的面积为：,故选A．10．(2018全国2卷)双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为A．2yxB．3yxC．22yxD．32yx【答案】A【解析】解法一由题意知，3cea，所以3ca，所以222bcaa，所以2ba，所以该双曲线的渐近线方程为2byxxa，故选A．解法二由21()3cbeaa，得2ba，所以该双曲线的渐近线方程为2byxxa．故选A．11．（2017天津理）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，离心率为2．若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A．22144xyB．22188xyC．22148xyD．22184xy【答案】B【解析】设(,0)Fc，双曲线的渐近线方程为byxa，由44PFkcc，由题意有4bca，又2ca，222cab，得22b，22a，故选B．12．（2015新课标1文）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲||||POPFPFO()324322223222:142xyC(6,0)F22yxP2tan2POF63(,)22PPFO△13326224)3,4(xy21线的标准方程为．【答案】2214xy【解析】∵双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为22(0)4xy，又双曲线过点，∴224(3)4，∴1，故双曲线的方程为2214xy．题组四：离心率13．(2021年高考全国甲卷理科)已知12,FF是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF，则C的离心率为()A．72B．132C．7D．13【答案】A【解析】因为213PFPF，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa，所以2PFa，13PFa；因为1260FPF,由余弦定理可得2224923cos60caaaa，整理可得2247ca，所以22274ace，即72e．故选：A14．(2021全国乙卷理科)设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的取值范围是()A．2,12B．1,12C．20,2D．10,2【答案】C【解析】设00,Pxy，由0,Bb，因为2200221xyab，222abc，所以2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc，因为0byb，当32bbc，即22bc时，22max4PBb，即max2PBb，符合xy21)3,4(题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc，即22bc时，42222maxbPBabc，即422224babbc，化简得，2220cb，显然该不等式不成立．故选：C．15．（2019全国1卷）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB，120FBFB，则C的离心率为．【答案】2【解析】如图，1FAAB，120FBFB，∴OA⊥F1B，则F1B：ayxcb①，渐近线OB为byxa②联立①②，解得B22222,acabcbaba，则222212222acabcFBcbaba，222222222acabcFBcbaba，又2221212FBFBFF，所以2222222222222224acabcacabccccbabababa整理得：22222223,3,4baaaac所以c即，故C的离心率为2cea16．（2019全国2卷）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为().A．B．C．2D．【答案】AF2222:1(0,0)xyCababOOF222xyaPQ||||PQOFC【解析】法1：由题意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故选A．法2：如图所示，由可知为以为直径圆的另一条直径，所以，代入得，所以，解得.故选A．法3：由可知为以为直径圆的另一条直径，则，.故选A．题组五：距离17．【2020年高考北京卷12】已知双曲线22:163xyC，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是__________．【答案】(3,0)，3【解析】∵双曲线22163xy，∴26a，23b，222639cab，∴3c，∴右焦点坐标为(3,0)，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b，∴3b．18．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A．2B．2C．322D．22【答案】D【解析】21()2cbeaa，1ba，∴双曲线C的渐近线方程为0xy，∴2cx222xya2224cPQaPQOF2224cac222ac222ca2ceaPQOFPQOF,22ccP222xya222ac222ca2ceaP