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易错点04导数及其应用易错点1:导数与函数的单调性导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.易错点2:导数与函数的极(最)值求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a,b)内的极值;(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。易错点3:对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为DxfxfDxDxfxfDxDxfxfDxDCxfDCxxfBAxfBAxxf)(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论.易错点4:导数与函数的零点研究函数图像的交点、方程的根、函数零点,归根到底是研究函数的性质,如单调性、极值等。用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数单调性,借助零点村子性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图像的交点问题,利用数形结合来解决。考点一:含参函数的单调性1.(2018·全国1卷)已知函数1()lnfxxaxx.(1)讨论()fx的单调性;【解析】(1)的定义域为,.(i)若,则,当且仅当,时,所以在单调递减.(ii)若,令得,或.当时,;()fx(0,)22211()1axaxfxxxx2≤a()0≤fx2a1x()0fx()fx(0,)2a()0fx242aax242aax2244(0,)(,)22aaaaxU()0fx当时,.所以在,单调递减,在单调递增.2.(2017·全国2卷)已知函数2()lnfxaxaxxx,且()0fx≥.(1)求a;【解析】(1)的定义域为.设,则,等价于.因为,,故,而,,得.若,则.当时,,单调递减;当时,,单调递增.所以是的极小值点,故.综上,.3.(2017·全国3卷)已知函数()1lnfxxax.(1)若()0fx≥,求a的值;【解析】(1)的定义域为.①若,因为,所以不满足题意;②若,由知,当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增,故是在的唯一最小值点.由于,所以当且仅当a=1时,.故a=1.4.(2016·全国1卷)已知函数2()(2)(1)xfxxeax有两个零点.(I)求a的取值范围;【解析】(Ⅰ).(i)设,则,只有一个零点.(ii)设,则当时,;当时,.所以在上单调递减,在上单调递增.又,,取满足且,则,故存在两个零点.(iii)设,由得或.若,则,故当时,,2244(,)22aaaax()0fx()fx24(0,)2aa24(,)2aa2244(,)22aaaa()fx(0,)()lngxaxax()()fxxgx()0fx≥()0gx≥(1)0g()0gx≥(1)0g1()gxax(1)1ga1a1a1()1gxx01x()0gx()gx1x()0gx()gx1x()gx()(1)0gxg≥1a()fx(0,)a0≤11()ln2022fa>0a1axaf'xxx0x,a<0f'x,+xa>0f'x()fx(0,)a(,)axa()fx(0,)10f()0fx≥'()(1)2(1)(1)(2)xxfxxeaxxea0a()(2)xfxxe()fx0a(,1)x'()0fx(1,)x'()0fx()fx(,1)(1,)(1)fe(2)fab0bln2ab223()(2)(1)()022afbbababb()fx0a'()0fx1xln(2)xa2ealn(2)1a(1,)x'()0fx因此在上单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.若,则,故当时,;当时,.因此在上单调递减,在上单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.综上,的取值范围为.5.(2019·全国3卷)已知函数,讨论的单调性;【解析】(1).令,得x=0或.若a0,则当时,;当时,.故在单调递增,在单调递减;若a=0,在单调递增;若a0,则当时,;当时,.故在单调递增,在单调递减.考点二:零点问题★1.(2017新课标Ⅲ)已知函数211()2()xxfxxxaee有唯一零点,则aA.12B.13C.12D.1【解析】令()0fx,则方程112()2xxaeexx有唯一解,设2()2hxxx,11()xxgxee,则()hx与()gx有唯一交点,又11111()2xxxxgxeeee≥,当且仅当1x时取得最小值2.而2()(1)11hxx≤,此时1x时取得最大值1,()()agxhx有唯一的交点,则12a.选C.()fx(1,)1x()0fx()fx2ealn(2)1a(1,ln(2))xa'()0fx(ln(2),)xa'()0fx()fx(1,ln(2))a(ln(2),)a1x()0fx()fxa(0,)32()2fxxaxb()fx2()622(3)fxxaxxxa()0fx3ax(,0),3ax()0fx0,3ax()0fx()fx(,0),,3a0,3a()fx(,),(0,)3ax()0fx,03ax()0fx()fx,,(0,)3a,03a3.(2019全国Ⅱ理20(1))已知函数,讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;【解析】f(x)的定义域为(0,1)(1,).因为211()0(1)fxxx,所以()fx在(0,1),(1,+∞)单调递增.因为f(e)=e110e1,22222e1e3(e)20e1e1f,所以f(x)在(1,+∞)有唯一零点x1,即f(x1)=0.又1101x,1111111()ln()01xfxfxxx,故f(x)在(0,1)有唯一零点11x.综上,f(x)有且仅有两个零点.4.(2016年全国Ⅰ)已知函数2()(2)(1)xfxxeax有两个零点.(I)求a的取值范围;【解析】Ⅰ).(i)设,则,只有一个零点.(ii)设,则当时,;当时,.所以在上单调递减,在上单调递增.又,,取满足且,则,故存在两个零点.(iii)设,由得或.若,则,故当时,,因此在上单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.若,则,故当时,;当时,.因此在上单调递减,在上单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.综上,的取值范围为.5.(2017新课标Ⅰ)已知函数2()(2)xxfxaeaex.(1)讨论()fx的单调性;(2)若()fx有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)()fx的定义域为(,),2()2(2)1(1)(21)xxxxfxaeaeaee,(ⅰ)若0a≤,则()0fx,所以()fx在(,)单调递减.(ⅱ)若0a,则由()0fx得lnxa.当(,ln)xa时,()0fx;当(ln,)xa时,()0fx,1()1xfxlnxx()fx()fx'()(1)2(1)(1)(2)xxfxxeaxxea0a()(2)xfxxe()fx0a(,1)x'()0fx(1,)x'()0fx()fx(,1)(1,)(1)fe(2)fab0bln2ab223()(2)(1)()022afbbababb()fx0a'()0fx1xln(2)xa2ealn(2)1a(1,)x'()0fx()fx(1,)1x()0fx()fx2ealn(2)1a(1,ln(2))xa'()0fx(ln(2),)xa'()0fx()fx(1,ln(2))a(ln(2),)a1x()0fx()fxa(0,)所以()fx在(,ln)a单调递减,在(ln,)a单调递增.(2)(ⅰ)若0a≤,由(1)知,()fx至多有一个零点.(ⅱ)若0a,由(1)知,当lnxa时,()fx取得最小值,最小值为1(ln)1lnfaaa.①当1a时,由于(ln)0fa,故()fx只有一个零点;②当(1,)a时,由于11ln0aa,即(ln)0fa,故()fx没有零点;③当(0,1)a时,11ln0aa,即(ln)0fa.又422(2)e(2)e22e20faa,故()fx在(,ln)a有一个零点.设正整数0n满足03ln(1)na,则00000000()e(e2)e20nnnnfnaannn.由于3ln(1)lnaa,因此()fx在(ln,)a有一个零点.综上,a的取值范围为(0,1).6.(2019全国Ⅰ理20(2))已知函数()sinln(1)fxxx,()fx为()fx的导数.证明:()fx有且仅有2个零点.【解析】()fx的定义域为(1,).(i)当(1,0]x时,由(1)知,()f'x在(1,0)单调递增,而(0)0f',所以当(1,0)x时,()0f'x,故()fx在(1,0)单调递减,又(0)=0f,从而0x是()fx在(1,0]的唯一零点.(ii)当0,2x时,由(1)知,()f'x在(0,)单调递增,在,2单调递减,而(0)=0f',02f',所以存在,2,使得()0f',且当(0,)x时,()0f'x;当,2x时,()0f'x.故()fx在(0,)单调递增,在,2单调递减.又(0)=0f,1ln1022f,所以当0,2x时,()0fx.从而()fx在0,2没有零点.(iii)当,2x时,()0f'x,所以()fx在,2单调递减.而02f,()0f,所以()fx在,2有唯一零点.(iv)当(,)x时,ln(1)1x,所以()fx0,从而()fx在(,)没有零点.综上,()fx有且仅有2个零点.考点三、导数与函数的极值1.(2021·北京高考)已知函数f(x)=3-2xx2+a。(1)若a=0,求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,以及最大值和最小值。【解析】(1)当a=0时,f(x)=3-2xx2,则f′(x)=-2·x2-3-2x·2xx4=2x-6x3,当x=1时,f(1)=1,f′(1)=-4,故y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=-4(x-1),整理得y=-4x+5。(2)已知函数f(x)=3
本文标题:易错点4导数及其应用答案-备战2023年高考数学易错题
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