第08讲 函数的应用（原卷版）

第08讲函数的应用【知识点总结】一、函数的零点对于函数yfx，我们把使0fx的实数x叫做函数yfx的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程0fx有实数根函数yfx的图像与x轴有公共点函数yfx有零点.三、零点存在性定理如果函数yfx在区间,ab上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0fafb，那么函数yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得0,fcc也就是方程0fx的根.四、二分法对于区间,ab上连续不断且0fafb的函数fx，通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程0fx的近似解就是求函数fx零点的近似值.五、用二分法求函数fx零点近似值的步骤（1）确定区间,ab，验证0fafb，给定精度.（2）求区间,ab的中点1x.（3）计算1fx.若10,fx则1x就是函数fx的零点；若10fafx，则令1bx（此时零点01,xax）.若10fbfx，则令1ax（此时零点01,xxb）（4）判断是否达到精确度，即若ab，则函数零点的近似值为a（或b）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.六、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（）A．1B．2C．3D．4例2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（）A．0或12B．0C．12D．0或12例3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数221,11log,1xxfxxx„，则函数()fx的零点为（）A．2B．2，0C．12D．0例4．（2022·全国·高三专题练习）函数22(()log2)fxxx的零点一定位于下列哪个区间内（）A．5,6B．3,4C．1,2D．2,3例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（）A．1,5B．11,5C．（－∞，－1）D．（－∞，－1）∪1,5例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数3239fxxxxm仅有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．5,B．(,27)(5,)C．(,27)D．(,5)(27,)例7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数()xfxxe的部分函数值如下表所示：x10.50.750.6250.5625()fx0.63210.10650.27760.08970.007那么函数()fx的一个零点近似值（精确度为0.1）为（）A．0.45B．0.57C．0.78D．0.89例8．（2022·全国·模拟预测）在药物代谢动力学中，注射药物后瞬时药物浓度()Ct（单位：g/ml）与时间t（单位：h）的关系式为0()ektCtC，其中0C为0t时的药物浓度，k为常数.已知给某患者注射某剂量为1050mg的药物后，测得不同时间药物浓度如下：(h)t1.02.0()(g/ml)Ct109.7880.35则该药物的k的值大约为（）(ln1.2580.253,ln1.350.300,ln1.380.322,ln1.390.329)A．0.287B．0.312C．0.323D．0.356【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）若函数()=0yaxba+?经过点(2,0)，则函数2ybxax=-的零点是（）A．0，2B．0，12C．0，12D．2，122．（2022·全国·高三专题练习（理））函数11yx的零点是（）A．(-1，0)B．x=0C．-1D．13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221,11,1xxfxlogxx„，则函数()fx的零点为（）A．1,02B．2，0C．12D．04．（2022·全国·高三专题练习）函数662,0,log12,0xxfxxx的零点之和为（）A．-1B．1C．-2D．25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,(),xxafxxxa若函数fx存在零点，则实数a的取值范围是（）A．,0B．0,C．,1D．1,6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,0(),0xlnxxfxex„，则2()()2fxfx实数根的个数为（）A．2B．3C．4D．57．（2022·全国·高三专题练习（文））已知0x是函数1()21xfxx的一个零点，若10201,,xxxx，则（）A．1()0fx，20fxB．1()0fx，20fxC．10fx，20fxD．10fx，20fx8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()yfx的图象是连续的曲线，且部分对应值表如下：x12345y1.43.55.4－5.5－6.7则方程()0fx必存在有根的一个区间是（）A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)9．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求方程2log2xx的近似解时，可以取的一个区间是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数3()2xfxx，则下列区间中，()fx的零点所在的区间是（）A．(1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)11．（2022·全国·高三专题练习）函数22xfxax的一个零点在区间1,2内，则实数a的取值范围是（）A．1,3B．1,2C．0,3D．0,212．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数25xfxex的零点位于区间,1mm，mZ上，则42logmm（）A．14B．14C．12D．3413．（2022·全国·高三专题练习）函数()2ln2fxxx的零点所在的大致区间为（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,414．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()2afxxax在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．2(2,)3B．2(0,)3C．（2，＋∞）D．（0，2）15．（2022·江苏·高三专题练习）若函数2()(2)(21)fxmxmxm的两个零点分别在区间1,0和区间1,2内，则m的取值范围是（）A．11,24B．11,42C．11,42D．11,4216．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于x的方程94340xxa有实数解，则实数a的取值范围是（）A．4,B．,4C．8,D．,817．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln(2)2fxxxm(Rm)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法,方程ln(1)20xxm的近似解(精确度0.05)可能是（）A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.06618．（2022·浙江·高三专题练习）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）A．21yxB．12xyC．2logyxD．2112yx19．（2022·浙江·高三专题练习）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：C）满足函数关系ekxby（e2.718为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0C的保鲜时间是192小时，在22C的保鲜时间是48小时，则该食品在33C的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时20．（2022·全国·高三专题练习）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间30100tt（单位：天），增加总分数ft（单位：分）的函数模型：1lg1kPftt，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且1606fP．现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（）（lg611.79）A．440分B．460分C．480分D．500分21．（2022·全国·高三专题练习）为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N0，平均每个病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位：天)的关系式为N(t)=N0(1+K)t，若N0=2，K=2.4，则利用此模型预测第5天的病例数大约为（）(参考数据：log1.4454≈18，log2.4454≈7，log3.4454≈5)A．260B．580C．910D．1200二、多选题22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2xfxex，则下列区间中含fx零点的是（）A．2,1B．1,0C．0,1D．1,223．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22,(,0),()ln,(0,1),43,[1,),xxfxxxxxx若函数()()gxfxm恰有2个零点，则实数m可以是（）A．1B．0C．1D．2三、填空题24．（2022·全国·高三专题练习）若函数3ln1fxxx的零点在区间,1Zkkk上，则k的值为___________.25．（2022·全国·高三专题练习（文））已知直线1y与曲线2yxxa有四个交点，则a的取值范围是___________．26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝12log,02,0xxxx，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是___________.27．（2022·全国·高三专题练习）函数f（x）=（x-2）2-lnx的零点个数为______．28．（2022·浙江·模拟预测）我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子･本经训》和《山海经･海内经》都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3500光年，如果将“3500光年”的单位“光年”换算成以”米”为单位，所得结果的数量级是___________（光年是指光在宇宙真空中沿直线经过一年时间的距离，光速5310