第14讲 等差数列、等比数列基本量（原卷版）

第14讲等差数列、等比数列基本量【知识点总结】一、基本概念1.数列(1)定义.按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.(2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()yfx中,当自变量xN时,所对应的函数值(1),(2),(3),fff就构成一数列,通常记为{}na,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列(1)定义.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d表示,即1()nnaadnN.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}na的首项是1a,公差是d,则其通项公式为11(1)()naandndad,是关于n的一次型函数.或()nmaanmd,公差nmaadnm(直线的斜率)(,,mnmnN).(3)等差中项.若,,xAy成等差数列,那么A叫做x与y的等差中项,即2xyA或2Axy.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n项和2111()2(1)2222nnaanadnnddSnann(类似于2nSAnBn),是关于n的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).nS的图像在过原点的直线(0)d上或在过原点的抛物线(0)d上.3.等比数列(1)定义.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q表示,即1(q0,)nnaqnNa.(2)等比数列的通项公式.等比数列的通项1111()(,0)nnnaaaqcqcaqq,是不含常数项的指数型函数.(3)mnmnaqa.(4)等比中项如果,,xGy成等比数列,那么G叫做x与y的等比中项,即2Gxy或Gxy(两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n项和二、基本性质1.等差数列的性质(1)等差中项的推广.当(,,,)mnpqmnpqN时,则有mnpqaaaa,特别地,当2mnp时,则有2mnpaaa.(2)等差数列线性组合.①设{}na是等差数列,则{}(,)nabbR也是等差数列.②设{},{b}nna是等差数列,则1212{}(,)nnabR也是等差数列.(3)等差数列的单调性及前n项和nS的最值.公差0{}nda为递增等差数列,nS有最小值;公差0{}nda为递减等差数列,nS有最大值;公差0{}nda为常数列.特别地若100ad,则nS有最大值(所有正项或非负项之和);若100ad,则nS有最小值(所有负项或非正项之和).(4)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}na,公差为d,前n项和为nS,则232,,,mmmmmSSSSS为等差数列,公差为2md.3.等比数列的性质(1)等比中项的推广.若mnpq时,则mnpqaaaa,特别地,当2mnp时,2mnpaaa.(2)①设{}na为等比数列,则{}na(为非零常数),{}na,{}mna仍为等比数列.②设{}na与{b}n为等比数列,则{b}nna也为等比数列.(3)等比数列{}na的单调性(等比数列的单调性由首项1a与公比q决定).当101aq或1001aq时,{}na为递增数列;当1001aq或101aq时,{}na为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}na,公比为q,前n项和为nS,则232,,,mmmmmSSSSS为等比数列,公比为mq(当1q时,m不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}na为正项等比数列,则{log}(c0,c1)cna为等差数列.(2)若{}na为等差数列,则{c}(c0,c1)na为等比数列.(3)若{}na既是等差数列又是等比数列{)na是非零常数列.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（）A．－24B．－3C．3D．8例2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}na的前n项和为nS，且4610aa，则9S（）A．38B．50C．36D．45例3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．13B．13C．19D．19例4．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5=（）A．34B．23C．12D．13例5．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块例6．（2019·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知nS是等差数列na前n项和，38a，62a，当nS取得最小值时n（）．A．2B．14C．7D．6或7例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na、nb都是等差数列，设na的前n项和为nS，nb的前n项和为nT.若2132nnSnTn，则55ab（）A．1929B．1125C．1117D．23例8．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列na满足121,2aa，且对任意的正整数n，211na是2na和22na的等差中项，证明：221nnaa是等差数列，并求na的通项公式．例9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足11a，且点1,2nnnaa在函数3fxx的图象上，求证：12nna是等比数列，并求na的通项公式：例10．（2022·全国·高三专题练习）有下列三个条件：①数列2na是公比为12的等比数列，②nSn是公差为1的等差数列，③21nnSa，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.设数列na的前n项和为nS，11a，对任意的*nN，都有___________.已知数列nb满足32nnb，是否存在*kN，使得对任意的*nN，都有nknkaabb？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列na中，12021a，其前n项和为nS，若1082108SS，则2021S等于（）A．2021B．2021C．2020D．20202．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na是等比数列，数列nb是等差数列，若48933,aaa4892bbb，则410311tan1bbaa（）A．3B．3C．33D．333．（2022·全国·高三专题练习）记等差数列na的前n项和为nS，若6516,35aS，则na的公差为（）A．3B．2C．－2D．－34．（2021·湖北·高三阶段练习）已知nS是等差数列na的前n项和，若21010aa，则11S（）A．22B．45C．50D．555．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））已知数列na的前n项和nS，且na满足122nnnaaa，532aa，若424SS，则9a（）A．9B．172C．10D．1926．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有nnST＝2343nn，则2313abb＋14511abb的值为（）A．2945B．1329C．919D．19307．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（）A．20B．22C．24D．88．（2022·全国·高三专题练习）设na是等差数列，且1212aa，3418aa，则56aa（）A．12B．0C．6D．249．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列na的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A．28B．29C．30D．3110．（2022·全国·高三专题练习）等差数列na的前n项和为nS，若7,nnSSN，则数列na的通项公式可能是（）A．163nanB．152nanC．214nanD．215nan11．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））等差数列na的前n项和为nS，若20212020120212020SS且13a，则()A．21nanB．1nanC．22nSnnD．24nSnn12．（2021·安徽定远·高三阶段练习（理））等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，且231nnSnTn，则55ab（）A．23B．914C．2031D．7913．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列na的前n项和为nS，若1254aaa，则11S（）A．28B．34C．40D．4414．（2021·广东广州·高三阶段练习）已知nS是等差数列na的前n项和，70a，110S，则nS的最小值为（）A．4SB．5SC．6SD．7S15．（2022·全国·高三专题练习）我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯16．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列na的各项均为正数，且33a，则3132333435logloglogloglogaaaaa（）A．52B．5C．10D．1517．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列na是等差数列，数列nb是等比数列，若16114πaaa，2588bbb，则4819cosaabb的值是（）A．12B．12C．32D．3218．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列na的前n项和为nS，42S，810S，则na的公比为()A．1B．2C．2D．419．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（）A．5B．10C．20D．4020．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}是等比数列，且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝（）A．5B．10C．15D．2021．（2021·陕西安康·高三期中（理））等比数列na的前n项和为nS，11a，33S，则5S（）A．1B．5C．1或31D．5或1122．（2021·四川·双流中学高三阶段练习（理））已知na为等比数列，nS是它的前n项和．若2312aaa，且4a与72a的等差中项为54，则5S（）A．29B．31C．33D．3523．（2021·西藏