第18讲 平面向量（解析版）

第18讲平面向量【知识点总结】一、向量的基本概念1.向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用a，b，c来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB（其中A为起点，B为终点）.注：谈到向量必须说明其方向与大小.向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作a或加、减、数乘.2.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量零向量：长度为零的向量，记为0，其方向是不确定的.单位向量：模为1个单位长度的向量.当a0时，向量aa是与向量a共线（平行）的单位向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为ab.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.规定零向量与任何向量a平行（共线），即0//a.注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；③//ab，//bc，不一定有//ac，因为b可能为0.二、向量的线性运算1.向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做向量a与b的和（或和向量），即abABBCAC.向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量AC=ab.2．向量的减法（1）相反向量.与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作a.（2）向量的减法.向量a与b的相反向量的和叫做向量a与b的差或差向量，即ab=()ab.向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示，OAa，OBb则向量BAab.3.向量的数乘（1）实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a，它的长度和方向规定如下：①aa②当λ0时，a的方向与a的方向相同；当λ0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a方向不确定；0a时，0a方向不确定.（2）向量数乘运算的运算律.设a、b为任意向量，、为任意实数，则()()aa；()aaa；()abab.三、平面向量基本定理和性质1.共线向量基本定理如果()abR，则//ab；反之，如果//ab且0b，则一定存在唯一的实数，使ab.2.平面向量基本定理如果1e和2e是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数12,，使得1122aee，我们把不共线向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为12,ee.1122ee叫做向量a关于基底12,ee的分解式.3.三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数,，使OCOAOB，其中1，O为平面内一点.四、平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示.在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数,xy使axiyj，我们把有序实数对（,xy）叫做向量a的坐标，记作a=（,xy）.(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量（,xy）一一对应向量OA一一对应点A（,xy）.（3）设11(,)axy，22(,)bxy，则1212(,)abxxyy，12(,abxx12)yy，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.若a=（,xy），为实数，则(,)axy，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.（4）设A11(,)xy，B22(,)xy，则ABOBOA=12(,xx12)yy，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.五、向量的平行设11(,)axy，22(,)bxy.//ab的充要条件是12210xyxy.除了坐标表示12210xyxy外，下面两种表达也经常使用：当0b时，可表示为ab；当12210xyxy时，可表示为1122xyxy，即对应坐标成比例.六、平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b，作?\s\up6(()OA＝a，?\s\up6(()OB＝b，()0AOB＝叫作向量a与b的夹角．记作,ab，并规定,ab0,.如果a与b的夹角是2，就称a与b垂直，记为ab.(2)cos,abab叫作a与b的数量积，记作ab，即cos,ababab.规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a与b垂直的充要条件是ab=0.两个非零向量a与b平行的充要条件是baab.七、平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积．即ab＝|a||b|cosθ.(b在a方向上的射影|b|cosθaba;a在b方向上的射影|a|cosθabb).八、平面向量数量积满足的运算律（1）=abba（交换律）；（2）()=()(ababab为实数）；（3）(+)=abcacbc（分配律）。数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律()()abcabc，不可约分=abacbc.九、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量11221212(,),(,)axybxyabxxyy由此得到（1）若222222=(,),||+||+axyaaxyaxy或；（2）设1122(,),(,),,AxyBxyAB则两点间距离222121||()+()ABxxyy（3）设1122(,),(,),axybxyab是与的夹角，则121222221122cosxxyyxyxy【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量a，b的夹角为60°，2a，1b，则2ab（）A．2B．32C．23D．12【答案】C【详解】222222224444cos123abababababab，所以2ab23.故选：C.例2．（2022·全国·高三专题练习）向量、ab不共线，点P、Q、S共线，已知2,,23PQakbQRabRSab，则k的值为（）A．1B．3C．35-D．43【答案】D【详解】因为2332QSQRRSababab，又因为点P、Q、S共线，所以0PQQS，所有232akbab，因此232akbab，故232k，解得2343k，故选：D.例3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，//ABDC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E为AD的中点，若CACEDB，则的值为（）A．65B．85C．2D．83【答案】B【详解】依题意：2DCAB，CADADC，1122CEDBDADCDADC1122DADC，所以112112，解得62,55.所以85.故选：B例4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量b＝（1，3），向量a在b方向上的投影为﹣6，若（λa+b）⊥b，则实数λ的值为（）A．13B．﹣13C．23D．3【答案】A【详解】解：设a＝（x，y），∵向量b＝（1，3），向量a在b方向上的投影为﹣6，（λa+b）⊥b，，∴2222362(1)(3)30xyxyxyxy，解得λ＝13．故选：A．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，求11xy的值为________．【答案】3【详解】根据条件：11,ACANABAMyx，如图设D为BC的中点，则1122ADABAC因为G是ABC的重心，211333AGADABAC，1133AGAMANxy，又M，G，N三点共线，11=133xy，即113xy.故答案为：3.例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，已知点D满足3BCCD，若43ADmABAC，则m____________．【答案】13【详解】∵1114()3333ADACCDACBCACACABABAC，∴13m．故答案为：13例7．（2022·全国·高三专题练习）已知P为ABC内一点，2350PAPBPC，则APC△，BPC△的面积之比为______．【答案】32【详解】如图所示，由2350PAPBPC，得23PAPCPBPC，取F为AC中点，G为BC中点，则23PFPG，所以12132122APCBPCPChSPFSPGPCh△△．故答案为：32.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．【详解】对于①，向量AB与向量BA，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a与b平行时，a或b为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量AB与CD是共线向量，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．2．（2022·浙江·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．若abrr，则a、b的长度相等且方向相同或相反B．若向量AB、CD满足ABCD，且AB与CD同向，则ABCDC．若ab，则a与b可能是共线向量D．若非零向量AB与CD平行，则A、B、C、D四点共线【答案】C【分析】由向量的模和向量的方向，可判断A；由向量为既有大小又有方向的量，不好比较大小，可判断B；由共线向量的特点可判断C，D．【详解】对于A：若|a|＝|b|，可得a、b的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；对于B：若向量AB、CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，由于两个向量不能比较大小，故B错误；对于C：若ab，则a与b可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；对于D：若非零向量AB与CD平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误．故选：C．3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量,ab满足1a，1,1b，baR，则2ab（）A．2或0B．23C．22D．22或0【答案】D【分析】由共线向量定义可知2，分别在2和2时求得结果即可.【详解】2b，又1a，baR，2，当2时，22222aba；当2时，20ab；222ab或0.故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设ABa，ADb，则向量BF等于（）A．13a＋23bB．-13a-23bC．-13a＋23bD．13a-23b【答案】C【分析】根据给定条件借助平行线的性质求出||1||2EFBF，再利用向量的加法计算即得.【详解】平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，则有||||1||||2