第19讲 复数（解析版）

第19讲复数【知识点总结】一.基本概念（1）i叫虚数单位，满足21i，当kZ时，44142431,,1,kkkkiiiiii.（2）形如(,)abiabR的数叫复数，记作abiC.①复数(,)zabiabR与复平面上的点(,)Zab一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚部；0,bzRZ点组成实轴；0,bz叫虚数；0b且0a，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.②两个复数,(,,,)abicdiabcdR相等acbd（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)abiabR的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算公式为22||||zabiab，显然，2222||||,zabiabzzab.二.基本性质1.复数运算（1）()()()()iabicdiacbd（2）()()()()abicdiacbdadbci22222()()zz||||)2abiabiabzzzzza(注意其中22||zab，叫z的模；zabi是zabi的共轭复数(,)abR.（3）2222()()()()(0)()()abiabicdiacbdbcadicdcdicdicdicd.实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.2.复数的几何意义（1）复数(,)zabiabR对应平面内的点(,)zab；（2）复数(,)zabiabR对应平面向量OZ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数(,)zabiabR的模||z表示复平面内的点(,)zab到原点的距离.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）复数2i2iz（i为虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】解：因为2222ii121i2i2i5521z，所以复数z在复平面内的对应点为21,55，位于第二象限，故选：B.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知复数z满足i243iz，则z（）A．2B．3C．5D．22【答案】C【详解】因为243izi，所以43ii+243i12ii25z，所以22125z故选：C（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足12i=10z，则（）A．|z|=25B．2z是纯虚数C．复数z在复平面内对应的点在第三象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα=55【答案】AB【详解】由题意1010(12i)=12i(12i)(12i)24iz，25z，A选项正确；24iz，B选项正确；z在复平面内对应点为2,4，对应点在第一象限，C选项错误；425sin=54+16，D选项错误.故选：AB.例4．（2022·上海·高三专题练习）已知复数13i1i12iz，则z___________.【答案】2【详解】解：13i1i42i12i42i10i2i12i12i12i12i5z，则2zz.故答案为：2.例5．（2022·江苏·高三专题练习）已知1i1imn其中,mn是实数，i是虚数单位，则n_________【答案】1【详解】由1i1imn，可得1i1i11imnnn则110mnn，解得2,1mn.故答案为：1.例6．（2022·全国·高三专题练习）若复数202121iz，其中i为虚数单位，则z的虚部为_____________.【答案】-1【详解】202121i221i1i1i2z，所以虚部为-1.故答案为：-1.例7．（2022·全国·高三专题练习）复数i2i32izmmR在复平面内对应的点位于第一象限，则实数m的取值范围是_____________.【答案】24m【详解】因为i2i32i244izmmm，所以z在复平面中所对应的点的坐标为24,4mm，令24040mm，解得24m.故答案为：24m.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知a，b，tR，复数2i1it的实部为a，虚部为b，则（）A．2abB．2abC．2abD．2ba【答案】A【分析】由复数的除法运算化简复数后结合复数的定义可得．【详解】2i(2i)(1i)2(2)i1i(1i)(1i)2tttt22i22tt，所以22ta，22tb，所以22222ttab.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）设2i1iz，则z的共轭复数的虚部为（）A．32B．3i2C．32D．3i2【答案】C【分析】先对复数2i1iz化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部【详解】因为2i1i2i13i13i1i1i1i222z，所以13i22z，所以z的虚部为32，故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中∶①两个复数不能比较大小；②若izab，则当且仅当00ab，时，z为纯虚数；③221223()()0zzzz则123zzz；④i1i1xyxy；⑤若实数a与ia对应，则实数集与纯虚数集一一对应；其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】根据复数的概念，逐项判断，即可得到结果.【详解】复数izab(,ab为实数)，当0b时可以比较大小，当0b时，不能比较大小，故①错误;复数izab，当0,ab为实数且0b时，z为纯虚数，故②错误;若1231,,0ziziz,则22221223()()1i0zzzz，但123zzz不成立，故③错误;只有当xyR、时，有1xy，故④错误;若0a，则i0a，ia不是纯虚数，故⑤错误.综上可知，有0个命题正确.故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）若2ii(,,)1iaxyaxyR，且1xy，则实数a的取值范围是（）A．(22,)B．(,22)(22,)C．(22,2)(22,)D．(,2)(2,)【答案】B【分析】根据复数的乘法运算和相等复数的性质，求出,xy，再根据1xy，得出2414a，从而可求出a的取值范围.【详解】解：因为2ii(,,)1iaxyaxyR，所以2i()iaxyxy，所以2xyxya，解得：22,22aaxy，因为1xy，所以2414a，解得：22a或22a，则实数a的取值范围是(,22)(22,).故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数z的共轭复数为z，若i2izz（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1i3B．2i3C．13D．23【答案】D【分析】利用复数相等列方程组，解方程组求得,ab，由此求得z的虚部.【详解】设izab，,abR，则izab，∵i2izz，∴ii2iiabab，i212ibaab即212baab，解得1323ab，∴12i33z，故复数z的虚部为23.故选：D6．（2022·浙江·高三专题练习）设z，1z，2z为复数，则下列命题中一定成立的是（）A．如果120zz，那么12zzB．如果2z，那么2zC．如果13zz，那么2zD．如果10z，20z，那么120zz，且120zz【答案】D【分析】举特例排除选项ABC，利用正实数的性质判断D正确.【详解】对于A，反例13iz，21iz，满足，120zz，但是12zz不正确，所以A不正确；对于B，反例13iz，满足2z，但是2z，所以B不正确；对于C，满足13zz的复数z对应的点的轨迹为点1,0与点3,0连线的中垂线，所以C不正确；对于D，1z，2z显然为正实数，所以120zz，且120zz正确.故选：D7．（2022·浙江·高三专题练习）复数12iz，若复数125zz，则在复平面内，复数2z对应的点与复数1z对应的点（）A．关于实轴对称B．关于虚轴对称C．关于原点对称D．关于点1,1对称【答案】B【分析】由条件求得215zz，化简，根据复平面内坐标，判断两复数对称性即可.【详解】由题知，21555(2i)2i2i(2i)(2i)zz，由复数12,zz在复平面内对应的点的坐标知，其对应的点关于虚轴对称.故选：B8．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为12i，3i，12i(i为虚数单位)，则点D对应的复数为（）A．35iB．1iC．13iD．3i【答案】A【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解.【详解】由题知，1,2A，3,1B，1,2C，设,Dxy.则4,3AB，1,2DCxy.因为ABCD为平行四边形，所以ABDC.由14,23xy，解得3,5xy，所以点3,5D对应的复数为35i.故选：A.9．（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足12i34iz（i为虚数单位），则在复平面内z所对应的点为（）A．1,2B．11,25C．2,1D．1,2【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数z，可求得复数z，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】由题意，得34i12i34i510i12i12i12i12i5z，所以12iz．所以在复平面内z对应的点为1,2．故选：D．10．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数47i(i23iz是虚数单位），则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，求出z，再求出z在复平面内对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】47i23i47i1326i12i23i23i23i13z，12iz，则z在复平面内对应的点的坐标为1,2，位于第二象限，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则iz（）．A．12iB．2iC．12iD．2i【答案】B【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得12zi，2izi.故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.12．（20