第21讲 三角函数的性质（解析版）

第21讲三角函数的性质【知识点总结】1.“五点法”作图原理在确定正弦函数sin([0,2])yxx的图像时，起关键作用的5个点是3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22.在确定余弦函数cos([0,2])yxx的图像时，起关键作用的5个点是3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)22.2.三角函数的图像与性质sinyxcosyx在0,2上的图像定义域,,值域（有界性）1,11,1最小正周期（周期性）22奇偶性（对称性）奇函数偶函数单调增区间2,222kkkZ2,2kkkZ单调减区间32,222kkkZ2,2kkkZ对称轴方程2xkkZxkkZ对称中心坐标,0kkZ,02kkZ最大值及对应自变量值22xk时maxsin1x2xk时maxcos1x最小值及对应自变量值322xk时minsin1x2xk时mincos1x函数正切函数tan,2yxxkxyO112xyO112xOy图像定义域|,2xxkkZ值域(,)周期性T奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性在(,),()22kkkZ上是单调增函数对称轴无对称中心,0()2kkZ3.sin()yAwx与cos()(0,0)yAwxAw的图像与性质（1）最小正周期：2Tw.（2）定义域与值域：sin()yAwx，）cos(yAwx的定义域为R，值域为[-A,A].（3）最值假设，00Aw.①对于sin()yAwx，当时，函数取得最大值当时，函数取得最小值2(Z);22();2wxkkAwxkkZA②对于）cos(yAwx，当时，函数取得最大值当时，函数取得最小值2(Z);2();wxkkAwxkkZA（4）对称轴与对称中心.假设，00Aw.①对于sin()yAwx，当，即时，的对称轴为当，即时，的对称中心为000000()sin()21sin()()sin()0sin()(,0).wxkkZwxywxxxwxkkZwxywxx②对于）cos(yAwx，当，即时，的对称轴为当，即时，的对称中心为000000()cos()1cos()()cos()20cos()(,0).wxkkZwxywxxxwxkkZwxywxx正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位置.（5）单调性.假设，00Aw.①对于sin()yAwx，增区间；减区间[2,2]()223[2,2]().22wxkkkZwxkkkZ②对于）cos(yAwx，增区间；减区间[2,2]()[2,2]().wxkkkZwxkkkZ（6）平移与伸缩sin()yAx（0A，0）的图象，可以用下面的方法得到：①画出函数sinyx的图象；②把sinyx的图象向左（0）或向右（0）平移个单位长度，得到函数sin()yx的图象；③把sin()yx图象上各点的横坐标变为原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sin()yx的图象；④把sin()yx图象上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），得到函数sin()yAx的图象.【典型例题】例1．（2018·福建省泉州市泉港区第一中学高三期中（文））函数的部分图象如图示，则下列说法不正确的是()A．sin26fxxB．fx的图象关于点5,012成中心对称C．212xkxfx在R上单调递增D．已知函数fx的图象向右平移6个单位后得到的函数图象关于原点对称【答案】D【详解】根据函数fx的部分图象，sinfxAx，其中1A，32114126，2，再根据五点法作图可得262，6，故sin26fxx，故A正确．当512x时，0fx，即fx的图象关于点5,012成中心对称，故B正确．sin212xkxfxxx，'cos10kxx，故函数kx在R上单调递增，故C正确．把函数fx的图象向右平移6个单位后，得到函数sin26yx的图象，由于函数sin26yx为非奇非偶函数，故它的图象不关于原点对称，故D错误，故选D．例2．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数2sin13fxx的定义域为（）A．56,622kk（kZ）B．156,622kk（kZ）C．56,644kk（kZ）D．156,644kk（kZ）【答案】B【详解】解：要使函数有意义，则2sin103x，即1sin32x，即522636kxk，kZ，得156622kxk，kZ，即函数的定义域为156,622kk（kZ）.故选：B例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()3fxx(ω0)，若f(x)在2[0,]3上恰有两个零点，则ω的取值范围是（）A．5[,4)2B．4[1,]3C．5[1,]3D．3[,3)2【答案】A【详解】解：因为203x，且ω0，所以23333x，又f(x)在2[0,]3上恰有两个零点，所以2233且2333，解之得542.故选：A.例4．（2022·全国·高三专题练习）若cossinfxxx在,上是减函数，则的最大值是（）A．8B．4C．38D．34【答案】B【详解】2cos4fxx，画出fx的图象如下图所示，由图可知，的最大值是4.故选：B例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝2sin,322x是偶函数，则θ的值为（）A．12B．6C．4D．3【答案】B【详解】由f(x)是偶函数，可得θ＋3＝2＋kπ，k∈Z，即θ＝6＋kπ，k∈Z.令k＝0，得θ＝6.故选：B．（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x的方程223cossin23xxm在区间,46上有且只有一个解，则m的值可能为（）A．2B．1C．0D．1【答案】AC【详解】223cossin23xxm整理可得cos262mx，令26tx，因为,46x，则,32t.所以cos2mt在区间,32上有且只有一个解，即cosyt的图象和直线2my只有1个交点.由图可知，12m或1022m„，解得2m或10m„.故选：AC.例7．（2022·全国·高三专题练习）将函数sin(2)3yx的图像向右平移3个单位，可得下列哪些函数（）A．sin2yxB．sin(2)3yxC．5cos(2)6yxD．2sin(2)3yx【答案】BC【详解】将函数sin(2)3yx的图像向右平移3个单位，得到2sin(2)sin(2)333yxx，而5cos(2)cos2sin2sin262333yxxxx，2sin(2)sin2sin2333yxxx.故选：BC.例8．（2021·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知函数2313()cos2sin2cos2224fxxxx.xf(x)（1）求函数()fx在区间,624上的值域；（2）用五点法在网格纸中作出()fx在区间0,2上的大致图象.【详解】（1）依题意，31cos4131311()sin4cos4sin4sin4224422223xfxxxxx，当,624x时，24,36x，4,336x，故31sin4,322x，故131sin4,2344x，故函数()fx在,624上的值域为31,44；（2）当0,2x时，4[0,2]x，74,333x，列表如下：x02467245122()fx3412012034作出图形如下所示：例9．（2021·全国·高三专题练习）已知0，函数23()cos(2)sin2fxxx．（Ⅰ）若6π，求()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若()fx的最大值是32，求的值．【详解】（Ⅰ）由题意131cos2sin2442fxxx11cos2232x由2223kxk，得236kxk．所以单调fx的单调递增区间为2,36kk，kZ.（Ⅱ）由题意3131coscos2sinsin22222fxxx，由于函数fx的最大值为32，即22313cossin1222，从而cos0，又0，故2．例10．（2021·江苏高邮·高三阶段练习）已知函数sin(0,0,)2fxAxA的部分图象如图.（1）求函数fx的解析式;（2）将函数fx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6个单位，得到函数gx的图象，当,6x时，求gx值域.【解析】（1）由图象可知，fx的最大值为2，最小值为2，又0A，故2A，周期453123T，2||，0，则2，从而()2sin(2)fxx，代入点5,212，得5sin16，则5262k，kZ，即23k，kZ，又||2，则3.()2sin23fxx.（2）将函数fx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin3yx；再将所得图象向左平移6个单位，得到函数gx的图象故可得()2sin()6gxx；[,]6x5[,]636x，3sin,162x，2sin3,26x，()[3,2]gx的值域为.【技能提升训练】一、单选题1．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（理））设点P是函数()sinfx