第22讲 解三角形（原卷版）

第22讲解三角形【知识点总结】1.角的关系180,sinsin()ABCABCocoscos(),tantan(),ABCABCsincos,cossin.2222ABCABC2.正弦定理2(2sinsinsinabcRRABC为ABC的外接圆的直径）.正弦定理的应用：①已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若ab,已知角Ａ求角Ｂ.无解；两解（一锐角、一钝角）1,sin1,21,BB若ab,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理2222coscababC（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）222cos2abcCab（已知三边求角）.余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边；②已知三边求角；③已知两边及一边对角未知第三边.4.三角形面积公式1111sinsinsin.2222ABCSahabCbcAacB【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，30A，3a，若这个三角形有两解，则b的取值范围是（）A．36bB．36bC．6bD．6b例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足coscosbCacB，则该三角形的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形例3．（2022·全国·模拟预测）已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc.且sinsinsinsinsin,2sinaBCbBaAcCaA，在①ABC的周长为6；②sin2sinBC；③sinsin3bCcB这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.（1）求A；（2）求ABC的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，13b．（1）若3sin4sinCA，求c的值；（2）求ac的最大值．例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC中，45B，点D在BC边上，且2CD，3AD，1cos3ADC（1）求AC的长；（2）求sinBAD的值.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cossin33fxxx骣琪=-+琪桫．（Ⅰ）求函数fx在区间,42上的值域．（Ⅱ）在ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，3fC，且2c，求ABC面积的最大值．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，若22sincoscossinaABbAB，则ABC的形状为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，60A，1b，3ABCS，则2sin2sinsinabcABC的值等于（）A．2393B．2633C．833D．233．（2022·全国·高三专题练习（文））已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc满足222bcabc且3a，则sinbB（）A．2B．3C．4D．234．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，30A，3AB，1BC，则C等于（）A．3或23B．6或56C．6D．35．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为3031m的建筑物,AB在它们之间的地面上的点(,,MBMD三点共线）处测得楼顶A､楼顶C的仰角分别是15和60,在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15，则估算黄鹤楼的高度CD为（）A．203mB．202mC．303mD．302m6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=1，b=3，B=60°，则A=（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°7．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC中，4BC，43AC，30A，则B（）A．30°B．30°或150C．60D．60或1208．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2220,acbacABC的外接圆半径为3,ABC的周长为9,则ac（）A．6B．9C．16D．249．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，6,,sin2sin3BCABC.则ABC的面积为（）A．63B．6C．93D．4210．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A．502030Abc，，B．502030ABc，，C．243130abA，，D．504529Aac，，11．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知12,30bA，使得三角形有两解的条件是（）A．6aB．612aC．12aD．6a12．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中2a，sinsinsinsinsinsinABACBC，则bc的最小值为（）A．6B．7C．8D．913．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，2cos3A，2BA．则ba()A．43B．54C．32D．6514．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC中，内角,,ABC对应的边分别为a，b，c，若47abc，，3C，则ABC的面积为()A．334B．23C．4D．3215．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2a，45C，2coscosacBbbcA，则ABC的面积为（）A．12B．1C．2D．416．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，若22()5cab，3C，则ABC的面积是（）A．3B．932C．534D．3317．（2022·全国·高三专题练习（文））已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，22213abc，ABC的面积为216c，则A（）A．45°B．60°C．120°D．150°18．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2232540abac，则ABC最小内角的余弦值为（）A．45B．74C．35D．3419．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2223bcabc，则角A的大小为（）A．6B．23C．3D．5620．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为（）．A．202mB．302mC．402mD．502m二、多选题21．（2022·全国·高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（）A．3a，4b，30AB．3a，4b，3cos5BC．3a，4b，30CD．3a，4b，30B22．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，a，b，c为三个内角A，B，C的对边，若222tan3acbBac，则角B（）A．30°B．60C．150D．120三、填空题23．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知120A，7a，11cos14B，则b___________24．（2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．25．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若1,4aB，ABC的面积2S，则ABC的外接圆的面积为__________．26．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，若sinsincossinABBC，2a，则ABC外接圆的面积为__________.27．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC外接圆的直径为d，4AB，5AC，7BC，则d___________.28．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin:sin:sin7:5:4ABC，则最大角等于_________．29．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知23BC，3a，1b，则ABC的面积为______.30．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscos16caBbA，8ab，60C，则c的值等于__________31．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC中，2223sinsinsinsinsincosABABCC，则cos2C________.32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形ABCD中，ADDC，53AC，322BC，120ADC，75BCD，则四边形ABCD的面积为________.33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高MN.选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N点的仰角30MAN，C点的仰角60CAB以及105NAC，从C点测得30NCA.已知山高150BC米.则所求山高MN为___________米.四、解答题34．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，abc、、分别为内角、、ABC的对边，且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinsin1BC，试判断ABC的形状．35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，a＝8，b＝6，cosA13，求：（1）角B；（2）BC边上的高．36．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知10ab，5c，sin2sin0BB．（1）求a，b的值：（2）求sinC的值．37．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，,,abc分别为角,,ABC的对边，且22cosbcaC.（1）求A；（2）若ABC为锐角三角形，2c，求b的取值范围.38．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，已知角A，B，C所对边分别为a，b，c，sinsintancoscosABCAB.（1）求角C；（2）若2c，求ab的取值范围.39．（2022·天津北辰·模拟预测）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知7,8ac（1）若4sin7C，求角A的大小；（2）若5b，求ABC的面积．40．（2022·上海·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且22coscos2ABBsin()sincos()ABBAC35（1）求cosA的值；（2）若42a，5b，求B和c.41．（2022·全国·高三专题练习）从①sincos2AA，②2coscoscosaAbCcB，③c