第23讲 立体几何小题（解析版）

第23讲立体几何小题【知识点总结】1.表面积与体积计算公式表面积柱体直棱柱底2SchS斜棱柱底2(SclSc为直截面周长)圆锥2222()Srrlrrl椎体正棱锥底12SnahS圆锥2()Srrlrrl台体正棱台上下1()2SnaahSS圆台（22)Srrrlrl球24SR体积柱体柱VSh椎体锥13VSh台体台1()3VSSSShSh球343VR2.斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下:(1)建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,OxOy,建立直角坐标系.(2)画出斜坐标系.在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段,在直观图中画成平行于'','',OxOy使'''45xOyo(或135o),它们确定的平面表示水平平面.(3)画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段,在直观图中画成平行于'x轴的线段,且长度保持不变;在已知图形平行于y轴的线段,在直观图中画成平行于'y轴,且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,纵减半”.(4)擦去辅助线.图画好后,要擦去'x轴、'y轴及为画图添加的辅助线(虚线).被挡住的棱画虚线.注:直观图和平面图形的面积比为2:4.3.外接球与内切球类型1：正方体或长方体外接球的球心在其体对角线的中点。类型2：正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。公式：222()2hRr,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理2sinarA类型3：正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。半径公式：222()RhRr（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理2sinarA类型4：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。类型5：锥体的内切球问题三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式：PABCOABCOPABOPACOPBCVVVVV11111()33333PABCABCPABPACPBCABCPABPACPBCVSrSrSrSrSSSSr第三步：解出3PABCOABCOPABOPACOPBCVrSSSS【典型例题】例1．（2015·吉林长春·高三阶段练习（文））已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________.【答案】6【解析】试题分析：已知四面体棱长为2，可知其外接球的半径为62，从而其表面积为6.例2．（2015·吉林长春·高三阶段练习（理））已知三棱锥SABC中,13SABC,5SBAC,10SCAB.则该三棱锥的外接球表面积为________.【答案】14【解析】试题分析：由条件，可将三棱锥SABC放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为,,abc，有22213,abSC22222210,5cbSBacSA，得到22214abc，所以长方体的体对角线长为14，该长方体的外接球也就是三棱锥的外接球半径为142，从而其表面积为14.例3．（2022·全国·高三专题练习（理））若棱长为23的正方体内部有一个球，球与正方体的各个面相切（即正方体的内切球）则该球的表面积为_____________．【答案】12【详解】由题意，正方体的棱长即为球的直径的长，所以223R，所以3R，2412SR，故答案为：12.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_______．【答案】8【详解】过正方体的对角面作截面如图，故球的半径2r，其表面积24(2)8S．故答案为：8.例5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法：①若，m，n，则直线m与n可能平行；②若m，n，，则直线m与n可能相交､平行或异面；③若m，n∥，则直线m与n一定垂直；④若m，n，∥，则直线m与n一定平行.以上说法正确的是___________.（填序号）【答案】①③【详解】对于①，若m是两个平面的交线时，能够找到n且mn∥的直线n，故①正确；对于②，若m，n，，直线m与n不可能平行，故②错误；对于③，根据线面垂直､线面平行的性质可知直线m与n一定垂直，故③正确；对于④，若m，n，∥，则直线m与n可能平行也可能异面，故④错误.故答案为：①③例6．（2022·全国·高三专题练习）已知,mn是不重合的两条直线，,为不重合的两个平面，给出下列命题：①若m，//m，则；②若//m，且//，则//m；③若m，//n，则mn．所有正确命题的序号为__．【答案】①③【详解】由,mn是不重合的两条直线，,为不重合的两个平面知：对于①，过m作平面，使c，则//mc，因为m，所以c，又c，所以，故①正确；对于②，若//m，且//，则//m或m，故②错误；对于③，过n作平面，使得c，因为//n，则//nc，因为m，c，所以mc，所以mn，故③正确．故答案为：①③．例7．（2022·上海·高三专题练习）有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，45ABC，//ADBC，1ABAD，DCBC，则这块菜地的面积为___________.【答案】222【详解】解：在直观图中，45ABC，1ABAD，DCBC212BC故原平面图形的上底为1，下底212，高为2所以这块菜地的面积为1122()(11)222222Sabh故答案为：222【技能提升训练】一、单选题1．（2021·全国·高三专题练习（文））四面体ABCD中，2ABCD，1BC，23BCD，且AB面BCD，则四面体ABCD的外接球表面积为（）A．36B．9C．1243D．403【答案】D【分析】由AB面BCD，构造一个直三棱柱，设1O，2O分别为上下两个底面的外接圆圆心，易得球心O为12OO的中点，然后分别在BCD△中求得外接圆的半径，进而2BOO中求得球的半径即可.【详解】根据题意，构造一个直三棱柱，如图，1O，2O分别为上下两个底面的外接圆圆心，根据球的性质，球心O必为12OO的中点，所以球的半径为OB，设为R，BCD△的外接圆半径设为r，在BCD△中，2ABCD，1BC，23BCD，由余弦定理得214122172BD，由正弦定理可得7212sin33BDrBCD，在2BOO中，221013Rr，所以球的表面积24043SR，故选：D.2．（2021·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABCABC中，2ABBC，2ABC，若该直三棱柱的外接球表面积为16，则此直三棱柱的高为（）．A．4B．3C．42D．22【答案】D【分析】由题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，利用直三棱柱的外接球表面积为16，可求出外接球的半径，从而可求得直三棱柱的高【详解】解：因为2ABC，所以将直三棱柱111ABCABC补成长方体1111ABCDABCD，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，设球的半径为R，则2416R，解得2R，设直三棱柱的高为h，则2222422Rh，即2168h，解得22h，所以直三棱柱的高为22，故选：D3．（2021·江西上饶·高二阶段练习（理））三棱锥PABC中，PA平面ABC，且2PAAB，ABBC且4BC，三棱锥PABC的外接球表面积为（）A．16πB．20πC．283D．24π【答案】D【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线，则得到长方体外接球的直径，利用球的表面积公式求解即可．【详解】解：因为三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为PA＝AB＝2，4BC，则长方体的长宽高分别为4，2，2，所以三棱锥P﹣ABC外接球的半径222226412R，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S＝4πR2＝24π．故选：D．4．（2021·全国·高三专题练习（文））已知长方体的两个底面是边长为1的正方形，长方体的一条体对角线与底面成45角，则此长方体的外接球表面积为（）A．4B．6C．12D．24【答案】A【分析】记该长方体为1111ABCDABCD，1BD为该长方体的一条体对角线，根据题中条件，求出体对角线的长度，再由长方体的外接球直径等于其体对角线的长，即可求出外接球直径，得出外接球的表面积.【详解】记该长方体为1111ABCDABCD，1BD为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为45，因为在长方体1111ABCDABCD中，侧棱1DD底面ABCD，则1DBD为1BD与底面所成角，即145DBD，因为长方体的两个底面是边长为1的正方形，所以222BDADAB，则12DDBD，所以1222BD，又长方体的外接球直径等于其体对角线的长，即该长方体外接球的直径为12222RBD，所以此长方体的外接球表面积为244SR.故选：A.5．（2021·全国·高三期末（文））如图，在直三棱柱111 ABCABC的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且33AD．若该三棱柱的外接球O的表面积为12，则1AA（）A．2B．2C．5D．22【答案】D【分析】根据展开图，得到直观图为直三棱柱，求得底面的外接圆半径，由外接球体积求得外接球的半径，进而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距离，乘以2即得三棱柱的高，即为1AA的长.【详解】由展开图可知，直三棱柱111 ABCABC的底面是边长为3的等边三角形，其外接圆的半径满足322sin60r，所以1r．由2412R得3R．由球的性质可知，球心O到底面ABC的距离为222dRr，结合球和直三棱柱的对称性可知，1222AAd，故选D．【点睛】本题考查直正三棱柱的判定与性质，球面的性质，球的表面积，属基础题，关键是由侧面展开图得到几何体的形状，并注意球心到球的截面圆心距离与球的半径，截面圆半径之间的关系.6．（2021·全国·高三专题练习）已知三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，且ABD△和BCD△都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4B．163C．8D．203【答案】D【分析】由题意画出图形分别取ABD△与BCD△的外心,EF，过,EF分别作两面的垂线，相交于O，结合已知由22ROCOECE，求出三棱锥外接球的半径，则外接球的表面积可求.【详解】如图，由已知可得，ABD△与BCD△均为等边三角形，取BD中点G，连接AG，CG，则AGBD，∵平面ABD平面BCD，则AG平面BCD，分别取ABD△与BCD△的外心,EF，过,EF分别作两面的垂线，相交于O，则O为三棱锥ABCD的外接球的球心，由ABD△与BCD△均为边长为2的等边三角形，可得113323323OEOFCG，32232233CE