第24讲 平行垂直问题（解析版）

第24讲平行垂直问题【知识点总结】1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（,abab）；⑦平行线垂直直线的传递性（,aca∥bbc）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（,,,,abaccbbcPa）；③面面垂直的性质（,,,babaa）；平行线垂直平面的传递性（,ab∥ab）；⑤面面垂直的性质（,,ll）.（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（,aa）.【典型例题】例1．（2021·四川省广安代市中学校高二阶段练习（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥C-PBD的体积.【解析】（1）连接AC，如下图所示：因为F为BD中点，且底面ABCD是边长为2的正方形，所以F为AC中点，又因为E为PC中点，所以EFPA，因为EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF∥平面PAD.（2）取AD的中点M，连接PM，如下图所示：因为PA=PD=22AD，所以222PAPDAD且PMAD，从而PAPD，则112PMAD，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PM平面PAD，所以PM平面ABCD，因为BCD△的面积1122222BCDABCDSS，所以PBCD的体积12=33PBCDBCDVSPM，故三棱锥C-PBD的体积23CPBDPBCDVV.例2．（2021·海南·海港学校高三阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，PC平面PAD，AB∥CD，=22CDABBC，M，N分别是棱PACD、的中点．（1）求证：PC∥平面BMN.（2）求证：平面BMN⊥平面PAC.【解析】（1）设ACBNO,连接MO,AN,ABQ∥CD，12ABCD,N是棱CD的中点,AB∥NC，ABNC,四边形ABCN为平行四边形，O是棱AC的中点,MO∥PC,又MO平面BMN,PC平面BMN,PC∥平面BMN.（2）(方法一)PC⊥平面PAD,AD平面PAD,PCAD.ABQ∥CD，12ABCD,N是棱CD的中点,AB∥DN，ABDN,四边形ABND为平行四边形，AD∥BN，BNPC.ABBC,四边形ABCN为菱形，BNAC,,PCACCAC平面PAC,PC平面PAC,BN平面PAC,又BN平面BMN，平面BMN⊥平面PAC.（方法二）连接PN,PC平面PAD,PA平面PAD,PCPAMO∥PC,PAMO,PC平面PAD,PD平面PAD,PCPD,NQ是棱CD的中点,12PNCD,由（1）可知，1==2ANBCCD,=ANPN,又M是棱PA的中点,PAMN,MNMOMMN，平面BMN,MO平面BMN,PA平面BMN.又PA平面PAC,平面BMN⊥平面PAC.例3．（2021·广西河池·高一阶段练习）如图，四边形ABED为梯形，//BEAD，22ADBEAB，PA平面ABED，M为AD中点（1）求证：平面PAE⊥平面PBM（2）探究在PD上是否存在点G，使得//EG平面PAB，若存在求出G点，若不存在说明理由．【解析】（1）证明：连接EM，因为//BEAD，22ADBEAB，M为AD的中点，所以四边形ABEM为菱形，所以AEBM，因为PA平面ABED，BM平面ABED，所以PABM，因为PAAEA，,PAAE面PAE，所以BM平面PAE，又BM平面PBM，所以平面PBM平面PAE；（2）解：当G为PD的中点时，//EG平面PAB，证明：如图连接GM，GE，因为G为PD的中点，M为AD的中点，所以//GMPA，GM平面PAB，PA平面PAB，所以//GM平面PAB，由（1）可知//EMAB，EM平面PAB，ABÌ平面PAB，所以//EM平面PAB，又GMEMM，,GMEM平面GME，所以平面//GME平面PAB，因为GEÌ平面GME，所以//GE平面PAB；例4．（2021·山东潍坊·高二阶段练习）如图，已知在长方体1111ABCDABCD中，O，F，G分别为BD，11AD，11CD的中点，E为线段1BB上非端点的动点，且2ABAD，14AA，设而EFG与底面ABCD的交线为直线l，（1）证明：//lFG；（2）当114BEBB时，证明：OE为平面EFG的一条垂线.【解析】（1）连结11,ACAC，因为F，G为11AD，11CD的中点，所以11//FGAC.又因为11//ACAC，所以//FGAC，又因为FG平面ABCD，AC平面ABCD,所以//FG平面ABCD，又因为FG平面EFG，平面EFG平面ABCDl，所以//FGl.（2）连接1,OFBF，223OEOBBE，221114EFBEBF，同理可得17OF，因为222OFEFOE，所以OEEF，同理OEGE，又因为EFEGE，所以OE平面EFG，所以OE为平面EFG的一条垂线.【技能提升训练】1．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD平面PBC于直线l.（1）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论；（2）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）MN∕∕平面PAD，证明见解析；（2）BCl∕∕，证明见解析.【分析】（1）取PD中点E，连接AE，NE，可得NEDC∕∕，且12NEDC，又M为AB中点，可得AMNE∕∕，且AMNE，所以四边形AMNE为平行四边形，可得AEMN∕∕，根据线面平行的判定定理，可证MN∕∕平面PAD.（2）根据线面平行的判定定理，可证BC∕∕平面PAD，又BC平面PBC，结合题意，根据线面平行的性质定理，可证BCl∕∕.【详解】（1）MN∕∕平面PAD，证明如下：取PD中点E，连接AE，NE，因为N，E分别为PC，PD中点，所以NEDC∕∕，且12NEDC，又M为AB中点，ABDC∕∕，ABDC，所以AMNE∕∕，且AMNE，所以四边形AMNE为平行四边形，所以AEMN∕∕，又AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN∕∕平面PAD.（2）BCl∕∕，证明如下：因为ADBC∕∕，AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC∕∕平面PAD，又BC平面PBC，且平面PAD平面PBCl，根据线面平行的性质定理可得BCl∕∕.2．（2021·江苏·南京市中华中学高一期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，,,NMQ分别为PB，PD，PC的中点.（1）求证：//QN平面PAD；（2）记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明.【答案】（1）证明见解析；（2）直线//l面PBD，证明见解析.【分析】（1）证明////QNBCAD，利用线面平行的判定定理即可求证；（2）由三角形中位线性质可得：//MNBD，可证明//MN面ABCD，由线面平行的性质定理可得//BDl，由线面平行的判定定理即可证明直线//l面PBD.【详解】（1）因为,NQ分别为PB，PC的中点，所以//QNBC，因为底面ABCD是菱形，所以//BCAD，所以//QNAD，因为QN平面PAD，AD平面PAD，所以//QN平面PAD，（2）直线l与平面PBD平行，证明如下：因为,NM分别为PB，PD的中点，所以//MNBD，因为MN面ABCD，BD面ABCD，所以//MN面ABCD，因为平面CMN与底面ABCD的交线为l，MN面CMN，由线面平行的性质定理可得//MNl，因为//MNBD，所以//BDl，因为BD面PBD，l面PBD，所以直线//l面PBD.3．（2020·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（文））如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB，点F是PB的中点，点E在边BC上运动.（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.【答案】（1）EF//面PAC，理由见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）当点E为BC的中点时，EF//面PAC，可由线面平行的判定定理给出证明；（2）转化为证明AF⊥平面PBC即可.【详解】（1）当点E为BC的中点时，EF//平面PAC.理由如下：∵点E，F分别是BC，PB的中点，∴EF//PC，又PC平面PAC，EF平面PAC，∴EF//平面PAC.（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴BC⊥PA，又四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，又AF平面PAB，∴AF⊥BC.又PA=AB，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，又PE平面PBC，∴AF⊥PE.所以，无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.4．（2021·贵州·高二学业考试）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E为1DD的中点.（1）求证：AC平面1DDB；（2）判断1BD与平面AEC的位置关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）1//BD平面AEC，理由见解析.【分析】（1）利用正方形的性质可得出ACBD，由正方体的几何性质以及线面垂直的性质可得出1DDAC，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）设BDACO，连接OE，利用中位线的性质可得出1//OEBD，再利用线面平行的判定定理可得出结论.【详解】（1）四边形ABCD是正方形，BDAC，在正方体1111ABCDABCD中，1DD平面ABCD，AC平面ABCD，1ACDD，1BDDDD，因此，AC平面1DDB；（2）1//BD平面AEC，理由如下：证明：设BDACO，连接OE，O、E分别为BD、1DD的中点，1//OEBD，1BD平面AEC，OE平面AEC，因此，1//BD平面AEC.5．（2021·四川自贡·三模（文））如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形，其中AB＝AE＝DF＝2，将图形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如图2．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由．【答案】（1）433；（2）l∥平面ABCD；答案见解析．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证出AB⊥平面PAD，进而可得平面PAD⊥平面ABCD，从而求出P到AD的距离3即为四棱锥P﹣ABCD的高，再有锥体的体积公式即可求解.（2）根据线面平行的判定定理可得AB∥平面PCD，再由线面平行的性质定理可得AB∥l，由线面平行的判定定理即可证明.