第29讲 二项式定理（解析版）

第29讲二项式定理【知识点总结】一、二项式定理nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100*Nn.展开式具有以下特点：（1）项数：共1n项.（2）二项式系数：依次为组合数nnnnnCCCC，,,,210.（3）每一项的次数是一样的，都为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开.特别地，nnnnnnxCxCxCx22111.二、二项式展开式的通项（第1r项）二项式展开的通项为rrnrnrbaCT1.,,3,2,1,0nr.其中rnC的二项式系数.令变量（常用x）取1，可得1rT的系数.注通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点：①分清rrnrnbaC是第1r项，而不是第r项；②在通项公式rrnrnrbaCT1中，含nrbaCTrnr,,,,,1这6个参数，只有nrba,,,是独立的，在未知nr,的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n和r.三、二项式展开式中的系数（1）二项式系数与项的系数二项式系数仅指nnnnnCCCC，,,,210而言，不包括字母ba,所表示的式子中的系数.例如：nx2的展开式中，含有rx的项应该是nrnrnrxCT21，其中rnC叫做该项的二项式系数，而rx的系数应该是rnrnC2（即含rx项的系数）.（2）二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即22110,,nnnnnnnnnCCCCCC，…，rnnrnCC.②二项展开式中间项的二项式系数最大.如果二项式的幂指数n是偶数，中间项是第12n项，其二项式系数nnC2最大；如果二项式的幂指数n是奇数，中间项有两项，即为第21n项和第121n项，它们的二项式系数21nnC和21nnC相等并且最大.（3）二项式系数和与系数和①二项式系数和011+12nnnnnnCCC（）.奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，02413512nnnnnnnCCCCCC即.②系数和求所有项系数和，令1x；求变号系数和，令1x；求常数项，令0x。【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）521xx的展开式中，x的系数为（）A．8B．9C．10D．20【答案】D【详解】552211xxxx的展开式通项为152rrrACxx，2rxx的展开式通项为32122krkrkkkkkrrBCxCxx，所以，521xx的展开式通项为321,152rkrkkrkrTCCx，其中05kr，k、rN，令312rk，得325rk，得1k，所以，展开式中x的系数为20515255220CCCC.故选：D.（多选题）例2.（2022·全国·高三专题练习）若20212320210123202112xaaxaxaxaxxR，则（）A．01aB．20211352021312aaaaC．20210242020312aaaaD．123202123202112222aaaa【答案】ACD【详解】由题意，当0x时，2021011a，当1x时，20210123202111aaaaa，当1x时，2021012320213aaaaa，所以20211352021312aaaa，20210242020312aaaa，2202120211212202122021111222222aaaaaa，当12x时，2202101220211110222aaaa，所以2202112202101111222aaaa.故选：ACD.例3．（2022·全国·高三专题练习）若512axxxx的展开式中各项系数的和为0，则该展开式的常数项为___________.【答案】120【详解】因为512axxxx的展开式中各项系数的和为0，令1x得10a，解得1a，所以511(2)xxxx的常数项为2233255311122120xCxCxxxx.故答案为：-120例4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知223nxx的展开式的二项式系数和比(31)nx的展开式的二项式系数和大992，则在212nxx的展开式中，二项式系数最大的项为________．【答案】－8064－32510C【详解】由题意知，222992nn，即2322310nn，故232n，解得n＝5.由二项式系数的性质知，1012xx的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为5556101C(2)Txx＝－8064.故答案为：－8064.例5．（2022·全国·高三专题练习）11223310101010101010190C90C90C190C90Ckkk除以88的余数是____．2设复数2i1ix(i是虚数单位)，则12233201920192019201920192019CCCCxxxx____．【答案】1i1##【详解】解：1101223310101010101010190C90C90C190C90C190kkk1001001912811001010101010188188188188188CCCC112110101010101888888CCC.因为后十项均能被88整除，所以除以88的余数是1.2222i1i2i2i+2i1i1i1i1i1ix，则201912233201920192019201920192019CCCC11xxxxx2019i11i.故答案为：1；i1.例6．（2022·全国·高三专题练习）求3451920(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中含3x的项．【详解】由3451920(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx，可得展开式中含3x的项为：33333333333333452034520()CxCxCxCxCCCCx43333433343344520552021()()5985CCCCxCCCxCxx.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））242yxxyx的展开式中23xy项的系数为（）A．24B．40C．24D．30【答案】B【分析】将式子分成两项之和，再利用二项式定理的展开式，求特定的项.【详解】22444222yyxxyxxyxyxx因为42xy42xy0123404132231404444422222CxyCxyCxyCxyCxy4322348243216xxyxyxyy，所以242yxxyx的展开式中23xy项的为2332332840yxxyxyxyx，系数为40.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）4221xxx的展开式中x项的系数为（）A．9B．5C．7D．8【答案】A【分析】将4221xxx化简为:2444(1)(1)2(1)xxxxx,写出4(1)x二项展开式的通项公式(4)14(1)rrrrTCx,即可求得答案.【详解】42244421(1)(1)2(1)xxxxxxxx4(1)x二项展开式的通项公式(4)14(1)rrrrTCx24(1)xx中不含x项,无需求解.4(1)xx中含x项,即当4r时(44444)(1)xCxx42(1)x中含x项,即当3r时(43)34328(1)Cxx4221xxx的展开式中x项9x故选:A.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.3．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知0a，二项式6322axxx的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（）A．66B．36C．30D．6【答案】B【分析】利用赋值法求出a值，再分析计算二项式展开式的通项即可得解【详解】因6322axxx的展开式中所有项的系数和为192，则当1x时，631192a，解得1a，从而有621xx展开式的通项为261231661C()()C,6,NrrrrrrTxxrrx，因此，在1rT中，当1233r，即=5r时，6T与3x相乘可得常数项，当1230r，即4r时，5T与2相乘可得常数项，于是得：533466C2C63036xx，所以展开式中的常数项为36.故选：B4．（2022·全国·高三专题练习（理））8312xx的展开式中的中间项为（）A．358B．83358xC．7D．437x【答案】B【分析】根据8为偶数可知中间一项为第五项代入公式计算即可.【详解】由题意得中间项为484433813528Cxxx.故选：B5．（2022·全国·高三专题练习）62axx展开式中的常数项为－160，则a＝（）A．－1B．1C．±1D．2【答案】B【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a的值.【详解】62axx的展开式通项为62166662()(06),2)(rrrrrrrrTCaxCxrrNxa，∴令620r，解得3r，∴62axx的展开式的常数项为366336346(266)1010TCxaa，∴31a∴1a故选：B.6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)nx＋的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．512B．210C．211D．212【答案】A【分析】根据题意求出n，二项式展开式奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，故奇数项的二项式系数和为122n.【详解】∵(12)nx＋的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴37nnCC＝，解得n＝10，对于二项式(12)nx＋，令x＝12，可得其展开式的奇数项和偶数项的二项式系数之和为0，即奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，又因为所有二项式系数之和为102，∴(12)nx＋的展开式中奇数项的二项式系数和为1091225122，故选：A．7．（2022·全国·高三专题练习）53(2)x的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（）A．1B．20C．21D．31【答案】C【分析】写出二项式的