第31讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布（解析版）

第31讲两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布【知识点总结】一、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量的分布列.表13-1123…nP1p2p3pnp①11,ipiniN;②121nppp.（2）E表示的期望：1122=+nnpppE…，反应随机变量的平均水平，若随机变量，满足=ab，则EaEb.（3）D表示的方差：2221122=---nnEpEpEpD，反映随机变量取值的波动性。D越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量，满足=ab，则2=DaD。二、几种特殊的分布列、期望、方差（1）两点分布（又称0，1分布）E=p，D=1pp.（2）二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p01p，则在n次独立重复实验中恰好发生k次概率=pk1nkkknCpp0,1,2,,kn，称服从参数为,np的二项分布，记作~,Bnp，E=np，D=1pp.（3）超几何分布：总数为N的两类物品，其中一类为M件，从N中取n件恰含M中的m件，0,1,2,mk，其中k为M与n的较小者，=PmmnmMNMnNCCC，称服从参数为,,NMn的超几何分布，记作~,,HNMn，此时有公式=EnMN。01P1-pp三、正态分布（1）若X是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为2221e2xfx，xR（其中,是参数，且0，）。其图像如图13-7所示，有以下性质：①曲线在x轴上方，并且关于直线x对称；②曲线在x处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；④fx图像与x轴之间的面积为1.（2）E=，D=2，记作~2,N.当0,1时，服从标准正态分布，记作~0,1N.（3）~2,N，则在,，2,2，3,3上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的3原则。【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A，B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A，B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A，B，C猜中的概率分别为13，12，13，且A，B，C是否猜中互不影响．（1）求A恰好获得4元的概率；（2）设A获得的金额为X元，求X的概率分布．【解析】解：依题意，当且仅当C猜中时A恰好获得4元，∴A恰好获得4元的概率为21113239.（2）解：X的所有可能取值为0,4,6,12，2122032)39(PX，(491)PX，2116323()PX，1123()PX，∴X的概率分布为X04612P29191313例2．（2021·辽宁·大连市一0三中学高二阶段练习）(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量0,()1,()当第一次向上一面的点数不等于第二次向上一面的点数当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数试写出随机变量的分布列(用表格格式);(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．【详解】试题解析：(1)当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时,有6种情况,所以610366P,由互斥事件概率公式得,51106PP)所以所求分布列是01p1656(2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为91182PABnABPBAPAnA或913618236PABPBAPA例3．（2021·北京市第五中学通州校区高三阶段练习）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为X，求X的分布列和均值；（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为21s，22s，试比较21s与22s的大小．（只需写出结论）【解析】（1）由甲班频率分布直方图知，甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率为(0.5000.2500.050)10.8．故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为0.8600480．（2）甲班每天学习时间不足4小时的人数约为400.05012，乙班每天学习时间不足4小时的人数约为400.10014，所以两个班每天学习时间不足4小时的学生共6人．从中随机抽取3人．则抽到的甲班学生人数X的可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布，032436CC1(0)C5PX，122436CC3(1)C5PX，212436CC1(2)C5PX，所以X的分布列为X012P153515方法一：131()0121555EX．方法二：32()16EX．（3）从甲、乙两个班学生每天的学习时间的频率分布直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据相比甲班较为分散，故2212ss．例4．（2022·全国·高三专题练习）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是23，那么在本次运动会上：（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．【详解】解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．设其打破世界纪录的项目数为随机变量，“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有23PAPP22333321220()()33327CC（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，233XB～，，则30321(0)1327PXC,213222(1)1339PXC,123224(2)1339PXC,33328(3)327PXC，所以X的分布列为X0123P1272949827所以期望124801232279927EX．例5．（2022·全国·高三专题练习）2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分x（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在85,95内的概率；（3）假设竞赛成绩服从正态分布2,N，已知样本数据的方差为121，用平均分x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）．参考数据：0.6827P≤，220.9545P≤，330.9973P．【详解】解：（1）由频率分布直方图可得，0.0050.2520.01101a，解得0.035a．这组样本数据的平均数为500.05600.25700.35800.25900.171．所以估计该校此次竞赛成绩的平均分为71分；（2）自频率分布直方图可知，成绩在75,85，85,95内的频率分别为0.25，0.1．所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人，成绩在75,85内的有5人，成绩在85,95内的有2人．记事件A这3人至少有1人成绩在85,95内则211255523757CCCCPAC；（3）由题意知，样本方差2121s，故211s，所以竞赛成绩2~71,11YN该校竞赛的及格率1601160820.841352PPYPY．例6．（2022·全国·高三专题练习）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差2s(同一组的数据用该组区间中点值代表)；（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s.①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若2(,)XN，令XY，则(0,1)YN，且()()aPXaPY.利用直方图得到的正态分布，求(10)PX．②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(2)PZ(结果精确到0.0001)以及Z的均值．参考数据：178403，190.77340.0076.若(0,1)YN，则(0.75)0.7734PY.【解析】（1）60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x，22222222690.03790.1890.2990.351090.191190.091290.041.78s（2）①由题意知9，21.78，∴(9,1.78)XN．17841.78103，109(10)()(0.75)0.773443PXPYPY.②由①知(10)1(10)0.2266PXPX，可得(20,0.2266)ZB，(2)1(0)(1)PZPZPZ201192010.77340.22660.77341(0.7734200.2266)0.00760.9597C()200.22664.532EZ∴.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·江苏·高三专题练习）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是（）A．5B．9C．10D．25【答案】B【分析】根据每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个可得答案.【详解】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，