第33讲 直线方程（解析版）

第33讲直线方程【知识点总结】一、基本概念斜率与倾斜角我们把直线ykxb中k的系数k（kR）叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，其斜率不存在。x轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角0,，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是2的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k表示，即tank。当0k时，直线平行于轴或与轴重合；当0k时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k的增大而增大；当0k时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k随的增大而减小；二、基本公式1.111222(,),(,)PxyPxy两点间的距离公式22121212||()()PPxxyy2.111222(,),(,)PxyPxy的直线斜率公式121212tan(,)2yykxxxx3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k存在且过00(,)xy，00()yykxx注：①当0k时，0yy；②当k不存在时，0xx（2）斜截式：直线的斜率k存在且过(0,)b，ykxb（3）两点式：112121yyxxyyxx，不能表示垂直于坐标轴的直线。注：211121()()()()xxyyxxyy可表示经过两点1122(,),(,)PxyQxy的所有直线（4）截距式：1yxab不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。（5）一般式：220(0)AxByCAB，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)nABur是这条直线的一个法向量）三、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定.两直线方程平行垂直11112222:0:0lAxByClAxByC且1221122100ABABBCBC12120AABB111222::lykxblykxb(斜率存在)11,22::lxxlxx(斜率不存在)1212,kkbb或1212,,xxxxxx121kkg或与12kk中有一个为0，另一个不存在.四、三种距离1．两点间的距离平面上两点111222(,),(,)PxyPxy的距离公式为22121212||()()PPxxyy.特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离22||.OPxy2．点到直线的距离点000(,)Pxy到直线:0lAxByC的距离0022||AxByCdAB特别地,若直线为l:x=m,则点000(,)Pxy到l的距离0||dmx;若直线为l:y=n,则点000(,)Pxy到l的距离0||dny3.两条平行线间的距离已知12,ll是两条平行线,求12,ll间距离的方法:(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.(2)设1122:0,:0lAxByClAxByC,则1l与2l之间的距离1222||CCdAB注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）直线l经过点1,2A，在x轴上的截距的取值范围是3,3，则其斜率k的取值范围是（）A．11,5B．11,2C．1,1,5D．1,1,2【答案】D【详解】设直线的斜率为k，则直线方程为21ykx，直线在x轴上的截距为1－2k，令－31－2k3，解不等式得1k或12k.故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））设mR，直线10xmy恒过定点A，则点A到直线220mxym的距离的最大值为（）A．1B．3C．5D．13【答案】D【详解】10xmy恒过的点为1,0A，直线220mxym变形为22ymx，恒过点2,2B，所以点1,0A到直线220mxym的距离最大值即为AB的长，其中2221213AB.故选：D例3．（2022·全国·高三专题练习）已知点(,2)(0)aa到直线:30lxy的距离为1，则a等于（）A．2B．22C．21D．21【答案】C【详解】解：由题意得|23|111a．解得12a或12a．0a，12a．故选：C.例4．（2022·全国·高三专题练习）(多选)设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则有（）A．PQ∥SRB．PQ⊥PSC．PS∥QSD．PR⊥QS【答案】ABD【详解】依题意，直线PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分别为：423645PQk，12632125SRk，1225243PSk，124426QSk，6211244PRk，由PQSRPSkkk得PQ∥SR，由1PQPSkk得PQ⊥PS，由1PRQSkk得PR⊥QS，而PSQSkk得PS与QS不平行，即选项ABD正确，选项C不正确.故选：ABD例5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线1:30lxy，直线:10lxy，若直线1l关于直线l的对称直线为2l，则直线2l的方程为_______________．【答案】50xy.【详解】由题意知12ll//，设直线2:03,1lxymmm，在直线1l上取点0,3M，设点M关于直线l的对称点为',Mab，则311031022baab，解得4,1ab，即'4,1M，将'4,1M代入2l的方程得410,5mm，所以直线2l的方程为50xy.故答案为：50xy例6．（2022·上海·高三专题练习）坐标原点(0,0)关于直线220xy-+=对称的点的坐标是________.【答案】48,55【详解】解：设原点(0,0)关于直线220xy-+=对称的点的坐标是(,)ab，则中点坐标为,22ab在直线220xy-+=上，直线220xy-+=的斜率为12则22022112abba，解得45a，85b．要求的对称的点的坐标是48(,)55．故答案为：48(,)55．【点睛】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．例7．（2022·全国·高三专题练习）直线1:3470lxy与直线2:6820lxy之间的距离为__________．【答案】85【详解】化简直线1:3470lxy为1:68140lxy，根据平行线间的距离公式，可得221428568，即直线1:3470lxy与直线2:6820lxy之间的距离为85.故答案为：85.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知两条直线18:0lmxyn和21:20lxmy，试分别确定,mn的值，使：（1）1l与2l相交于一点(,1)Pm；（2）12ll//且1l过点(3,1)；（3）12ll且l1在y轴上的截距为1.【解析】（1）解：由于1l与2l相交于一点(,1)Pm，故把点(,1)Pm代入12,ll的方程可得280210mnmm，联立解得173,39mn.（2）解：当0m时，可得1:80lyn和2:210lx，此时不满足12ll//；当0m时，因为12ll//且1l过点(3,1)，可得28380mmmn，解得4,4mn或4,20mn.（3）解：由12ll且l1在y轴上的截距为1，可得28018mmn，解得0,8mn.例9．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC的三个顶点分别为30A,，2,1B，2,3C，BC中点为D点，求：（1）BC边所在直线的方程;（2）BC边上中线AD所在直线的方程;（3）BC边的垂直平分线的方程.【解析】（1）311222BCk，故BC边所在直线的方程为：1122yx，化简得到240xy.（2）BC中点D为2213,22，即0,2，故202033ADk，故AD所在直线的方程为223yx，即2360xy.（3）12BCk，故垂直平分线的斜率为2k，中点为0,2，故垂直平分线的方程为22yx，即220xy.例10．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；（2）求△OAB面积的最小值.【详解】解：（1）由题意可设直线l的方程为3(4)ykx，即430kxyk，则2|43|41kdk，解得724k．故直线l的方程为774()302424xy，即7241000xy；（2）直线l的方程为430kxyk，34,0Ak，(0,43)Bk，依题意340430kk，解得0k，则OAB的面积为11319||||(4)(43)(1624)222SOAOBkkkk．则99162()(16)24kkkk…（当且仅当34k时，等号成立）．故OAB面积的最小值为1(2424)242．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有（）A．k1k2k3B．k3k1k2C．k3k2k1D．k2k3k1【答案】D【分析】根据图像可知10k，20k，30k，再由3l与2l倾斜角的大小得到32kk，进而得到结果.【详解】由图可知10k，20k，30k，且直线3l的倾斜角大于直线2l的倾斜角，所以32kk.综上可知231kkk.故选:D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l的方程为340xy，则直线l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】D【分析】由直线方程可得斜率33k，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.【详解】由题设，直线l斜率33k，若直线l的倾斜角为，则3tan3，∵[0,)，∴56.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l的倾斜角为3π4，直线1l经过点3,2A和,1Ba，且直线l与1l平行，则实数a的值为（）A．0B．1C．6D．0或6【答案】C【分析】求出直线l的与1l的斜率，利用两个斜率相等列方程即可求解.【详解】因为直线l的倾斜角为3π4，所以直线l的斜率为3πtan14，因为直线1l经过点3,2A和,1Ba，所以直线1l斜率为123a，因为直线l与1l平行，所以1213a，解得：6a，故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）若直线m的斜率(,1)(1,3]k，则直线m的倾斜角的取值范围是（）A．3,,464B．3,,2443C．3,,2464D．3,,443【答案】B【分析】根据斜率的取值范围，结合tank来求得倾斜角的取值范围.【详解】设倾斜角为，因为(,1)(1,3]k，且tank，所以3,,2443.故选：B5．（2022·全国·高三专题练习）已知(,3)Am，2,()4Bmm，,(2)1Cm，(1,0)D，且直线AB与CD平行，则m的值为（）A．1B．0C．1D．0或1【答案】D【分析】分直线AB与CD的斜率不存在与存在两类