第10节 利用导数研究函数的单调性（原卷版）

第10节利用导数研究函数的单调性基础知识要夯实1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．核心素养要做实考点一利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝lnx＋1ax－1a(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．【方法技巧】讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．[提醒]研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．【跟踪训练】1．函数f(x)＝ex－11x在定义域内为________函数(填“增”或“减”)．2．已知函数f(x)＝alnx＋x2(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．考点二利用导数求函数的单调区间【例2】(2022·湘东五校联考节选)已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．当x1时，求f(x)的单调区间．【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．【提醒】若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．【跟踪训练】1．若幂函数f(x)的图象过点2122，，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为()A．(－∞，0)B．(－∞，－2)C．(－2，－1)D．(－2,0)2．已知函数f(x)＝4xax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．考点三函数单调性的应用【例3】设函数f(x)＝13x3－2ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【变式训练】1.[变条件]本例(2)变为：若g(x)在(－2，－1)内为减函数，其他条件不变，求实数a的取值范围．2.[变条件]本例(2)变为：若g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，其他条件不变，求实数a的值．3.[变条件]本例(2)变为：若g(x)在(－2，－1)内不单调，其他条件不变，求实数a的取值范围．[解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．达标检测要扎实一、单选题1．已知函数4elnxfxkxx，当1x时，不等式1fxx恒成立，则k的取值范围是（）A．,eB．,4C．2,eD．,02．若函数2()lnfxaxbx在点1,1f处的切线方程为yx，则函数yfx的增区间为（）A．(0,1)B．20,2C．2,2D．2,123．设函数fx是偶函数fx（xR）的导函数，10f，当0x时，0xfxfx，则使得0fx成立的x的取值范围是（）A．,10,1B．1,01,C．,11,0UD．,11,4．已知函数xxfxe，记2log13af，3log11bf，1ln2cf，则（）A．acbB．abcC．bcaD．bac5．如图是函数yfx的导数'yfx的图象，则下面判断正确的是（）A．在3,1内fx是增函数B．在4,5内fx是增函数C．在1x时fx取得极大值D．在2x时fx取得极小值6．若函数21log(),0()22,0xxxxfxax的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为（）A．(22,3]B．[22,3]C．(22,)D．[22,)7．已知函数()yfx的图像如图所示，则此函数可能是()A．2()||2xxeefxxxB．2()||2xxeefxxxC．3||11||()eexxxxfxD．3||11||()eexxxxfx8．函数2()(ln)fxxx的减区间是（）A．210,eB．10,eC．21,1eD．1,1e9．函数3xfxxe的单调递增区间是（）A．,2B．2,C．(1，4)D．(0，3)10．函数2xxeefxx的图象大致为（）A．B．C．D．11．定义在R上的函数fx其导函数3fx恒成立，且13f，则不等式41fxx的解集为（）A．,0B．0,C．1,D．,112．函数lnfxxx的递增区间为（）A．21,eB．1,eC．210,eD．10,e二、填空题13．已知函数fx是定义在00,，的奇函数，当0x，时，xfxfx，则不等式21120fxxf的解集为___________.14．已知可导函数()fx的定义域为(0,)，满足()2()0xfxfx，且(2)4f，则不等式24xxf的解集是________．15．若过定点(1,e)P恰好可作曲线e(0)xyaa的两条切线，则实数a的取值范围是__________．16．函数2xxxefxsinxee（e为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和等于___.三、解答题17．已知函数()21(,)xfxeaxbabR.（1）讨论()fx的极值情况；（2）若0a时，()0fx，求证：2744ba.18．已知函数ecosRxfxaxxa，()()ln(1)gxfxx．（1）证明：若1a，则函数()fx在R上是增函数；（2）证明：若2a，12x，则函数()gx在0x处取得极小值．19．已知函数f(x)＝x+alnx+1．（1）求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．20．已知函数242lnfxxaxax．（1）当1a时，求函数yfx的极值；（2）讨论函数yfx的单调性．21．已知函数21()ln2fxxx．（1）求证：在区间[1,)上，函数()fx的图象恒在函数32()3gxx的图象的下方;（2）若存在1x，2[1,e](e2.7)x，使12fxfxm成立，求满足上述条件的最大整数m．22．已知函数21ln22fxaxaxx，0a.（1）求函数fx的增区间；（2）设1x，2x是函数fx的两个极值点，且12xx，求证：122xx.