第13节 任意角、弧度制及任意角的三角函数（原卷版）

第13节任意角、弧度制及任意角的三角函数基础知识要夯实1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝180rad；1rad＝180°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈)2,0(，则tanααsinα.3.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.4.象限角的集合核心素养要做实考点一角的概念及其集合表示【例1】(1)已知与120角的终边关于x轴对称，则2是（）A．第二或第四象限角B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角（2）集合9045,MxxkkZ，4590,NxxkkZ，则有（）A．MNB．MNC．MNÜD．MN【方法技巧】1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.【跟踪训练】(1)将885化为360k0360,kZ的形式是（）A．165(2)360B．195(3)360C．195(2)360D．195(3)360(2)若角的终边在函数yx的图象上，试写出角的集合为．考点二弧度制及其应用【例2】（1）(经典母题)设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（单位：弧度）（）A．1B．4C．πD．1或4（2）在半径为10cm的圆中，4π3的圆心角所对弧长为（）A．40π3cmB．20π3cmC．200π3cmD．400π3cm（3）圆的半径是6cm，则15的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（）A．π2cm2B．3π2cm2C．πcm2D．3πcm2【方法技巧】1.应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.【跟踪训练】1.一圆内切于中心角为π3、半径为R的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为（）A．3:4B．2:3C．1:2D．1:3考点三三角函数的概念【例3】(1)(2022·合肥质检)已知角的终边与单位圆交于点31(,)22，则sin的值为（）A．32B．12C．32D．12(2)若三角形的两内角,满足sincos0，则此三角形必为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都可能规律方法1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.【训练3】(1)(2022·西安一中月考)已知角的终边在直线340xy上，求2sincos的值．(2)19πsin()6的值等于（）A．12B．12C．32D．32达标检测要扎实一、单选题1．下列转化结果正确的是（）A．60化成弧度是rad6B．rad12化成角度是30C．1化成弧度是180radD．1rad化成角度是180o2．已知是第四象限角，(3,)Py是角终边上的一个点，若3cos5，则y（）A．4B．-4C．4D．不确定3．若角的终边在y轴的负半轴上，则角150的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．y轴的正半轴上D．x轴的负半轴上4．已知tan2，则2222sincos12sincos等于（）A．89B．119C．67D．475．如图所示的复古时钟显示的时刻为10:10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（）A．23B．2336C．1118D．7126．下列说法正确的是（）A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B．若tan0，则2kkkZC．若角的终边过点3,40Pkkk，则4sin5=D．当224kkkZ时，sincos7．已知是第四象限角，化简1sin1sin1sin1sin为（）A．2tanB．2tanC．tanD．tan8．在平面直角坐标系xOy中，角以x轴的非负半轴为始边，且点1,2P在角的终边上，则cos（）A．33B．33C．63D．639．若角α的终边经过点1,3P，则tana的值为（）A．13B．3C．1010D．3101010．已知A为三角形的内角，且7sincos13AA，则tanA（）A．125B．512C．512D．12511．若α为第四象限角，则（）A．cos2α0B．cos2α0C．sin2α0D．sin2α012．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点1,3P在角的终边上，则sincos2sin3cos（）A．34B．34C．49D．49二、填空题13．若角α的终边落在直线y＝－x上，则22sin1coscos1sin的值等于________.14．若1cos3，为第二象限的角，则tansin__________.15．已知1cos3，,02，则tan等于________．16．如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．三、解答题17．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB为23，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角AOB是，半径为r，若该扇形周长是一定值0cc当为多少弧度时，该扇形面积最大？18．若角是第二象限角，试确定2,2的终边所在位置．19．化简下列各式：（1）212cos5sin5cos51cos5；（2）11(1cos)sintan．20．如图，用弧度制分别写出下列条件下角的集合：（1）终边在射线OA上；（2）终边在直线AB上.21．已知角的终边经过点122(,)33P（1）求sin,cos,tan的值；（2）求5sin(3)2cos()22cos()cos()的值22．已知角的终边过点5Pa,，且12tan5，求sincos+的值.