第14节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（解析版）

第14节同角三角函数的基本关系与诱导公式基础知识要夯实1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sincos＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一[来源:Z*xx*k.Com]二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α2－α2＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.常用结论（1）同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.（2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.核心素养要做实考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)(2022·兰州测试)若cos2sin5，则tan（）A．12B．2C．12D．－2【答案】B【解析】由cos2sin5，得22cos545sin4sin，又22cos1sin，所以2445sin5sin0，即2(5sin2)0，从而25sin5，此时5cos52sin5．所以tan2．[来源:学.科.网](2)(2022·平顶山联考)如果tan2，那么1sincos的值为（）A．53B．54C．75D．73【答案】C【解析】tan2，222222221sincossincossincossincostantan1tan12212175∴．【方法技巧】1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sincos＝tanα可以实现角α的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【跟踪训练】1.若tan3，则22sincoscos（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】∵22sincos2tan6cos，故选D．2.已知是第二象限的角，1tan2，则cos（）A．255B．52C．54D．45【答案】A【解析】由2211tancos得21151cos44．故选A考点二诱导公式的应用【例2】(1)(2022·衡水中学调研)已知5sin13，则πcos()2的值为（）A．513B．1213C．513D．1213【答案】C【解析】π5cos()sin213．(2)若sincos2sincos，则3sin(5π)sin(π)2的值为（）A．34B．310C．310D．310【答案】B【解析】sincostan12sincostan1，解得tan3，原式2222sincostan33(sin)(cos)sincossincostan13110．规律方法1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【训练2】(1)(2020·北京卷)在已知π1sin()43，则πcos()4的值为（）A．223B．223C．13D．13【答案】D【解析】∵πππ()442，∴ππππ1cos()cos[()]sin()42443．（2）化简222cos(4π)cos(π)sin(3π)sin(4π)sin(5π)cos(π)．【答案】cos【解析】原式＝222coscossincossinsincos．考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用【例3】(1)(2020·菏泽联考)已知3cos(π)5，且是第四象限角，则sin(2π)．【答案】45【解析】∵3cos(π)5，∴3cos5，又为第四象限角，∴4sin5，∴4sin(2π)sin5．(2)(2020·福州调研)若8πtan()7a，求15π13πsin()3cos()7720π22πsin()cos()77的值．【解析】8πππtan()tan(π)tan()777a，设要求的式子为S，则ππsin(2π)3cos(2π)776π8πsin(2π)cos(2π)77Sππsin()3cos()77ππsin[π()]cos[π()]77ππsin()3cos()77ππsin()cos()77πtan()37πtan()1731aa．【方法技巧】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如π3－α与π6＋α互余等.【跟踪训练】1.(2022湖北七州市联考)已知sin是方程25760xx的根，求233ππsin(π)sin(π)tan()tan(π)[cos()cos()]2222的值．【解析】∵sin是方程25760xx的根，∴sin2或3sin5，而1sin1剟，故3sin5，∴24cos1sin5，故3tan4．∴原式2(cos)(cos)tan(tan)sin(sin)3tan4．2.化简πcos()sin(5π)cos(8π)2cos(3π)sin(3π)sin(4π)．【解析】原式sin(5π)sincoscos(π)sin(3π)sin(4π)sinsincoscossinsin1．达标检测要扎实一、单选题1．已知是第二象限角，且31cos24，则cos（）A．154B．14C．14D．154【答案】A【解析】因为31cos24，所以1sin4，因为是第二象限角，所以2115cos1sin1164，故选：A2．若4sincos3，且3π,π4，则sin(π)cos(π)A．23B．23C．43D．43【答案】A【解析】由题意，416sincos12sincos39，则72sincos09，由于3π,π4，则22sin(π)cos(π)sincos(sincos)12sincos3.故选A.3．已知角A、B、C为ABC的三个内角，若sinsin22ABCABC，则ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】由sinsin22ABCABC可得22sinsin22CB，sinsin22CB，coscosCB，即BC，故该三角形一定为等腰三角形.故选：C4．已知sin(π)2cos(3π)0，则sincossincos（）.A．3B．3C．13D．13【答案】D【解析】由sin(π)2cos(3π)0，得sin2cos0,sin2cos,tan2，所以sincossincostan1211coscossincossincostan1213coscos.故选：D5．已知锐角终边上一点A的坐标为2sin3,2cos3，则角的弧度数为（）A．32B．32C．3D．332【答案】A【解析】sin(3)2cos32tantan32sin32cos(3)2，又0322，为锐角，∴32，故选：A.6．已知3sin5，则sincosππsin2（）A．45B．45C．35-D．35【答案】D【解析】sincosπsincos3sinπcos5sin2，故选：D.7．已知cos167m，则tan193（）A．21mB．21mmC．21mmD．21mm【答案】C【解析】sin167sin167tan193tan(360167)tan167cos167m，因为2cos167,sin1671mm，所以21tan193mm.故选：C8．已知tan3，则3sinsinsin2（）A．34B．34C．310D．310【答案】C【解析】因为tan3，则33sinsinsinsincossin22222sin1sinsincostan3coscossin1tan10.故选：C.9．已知π1sin33，则πcos6（）A．79B．13C．13D．79【答案】B【解析】由诱导公式得π1coscossin63233，故选：B.10．化简cos201cos40cos50的值为A．12B．22C．2D．2【答案】B【解析】由正余弦的二倍角公式,结合诱导公式化简可得cos201cos40cos502cos202sin202sin20cos20cos50cos5022sin40sin40222cos50sin402故选:B11．若1sin53，则3cos10（）A．223B．223C．13D．13【答案】D【解析】由题意得31coscossin105253.故选：D.12．下列三角比的值中()kZ，与sin3的值相同的个数是（）①4sin3k；②cos26k；③sin23k；④cos(21)6n；⑤sin(21)3nA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①中，4sin()sin[(1)]33kk，当k为奇数时，sin[(1)]sin33k；当k为偶数时，sin[(1)]sin33k，不满足题意；②中，cos(2)cossin663k，满足题意；③中，si