第15节 三角函数的的图象及性质（原卷版）

第15节三角函数的图象及性质基础知识要夯实1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，)1,2(，(π，0)，)1,23(，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，)0,2(，(π，－1)，)0,23(，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|xRx≠kπ＋2}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性[来源:学科网]奇函数偶函数奇函数递增区间2,222kk[2kπ－π，2kπ],22kk递减区间32,222kk[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0),02k,02k对称轴方程x＝kπ＋2x＝kπ无核心素养要做实[来源:学科网]考点一三角函数的单调性角度1求三角函数的单调性【例1－1】（2020·四川省泸县第四中学高一月考）已知函数22()sin3sincos2cos,.fxxxxxxR（1）求函数()fx的最小正周期和单调增区间；（2）求函数()fx在区间,312上的最大值．角度2已知单调性求参数【例1－2】（2020·辽河油田第二高级中学高一期中）0函数()sinsin22xxfx在[]43,上单调递增，则的范围是A．20,3B．30,2C．0,2D．2,【方法技巧】1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【跟踪训练】1.已知函数231sinsin(0)222xfxx的最小正周期为.（1）求的值及函数fx的单调增区间；（2）当0,2x时，求函数fx的取值范围.2.已知函数2sin6fxx0在,2上单调递减，在2,3上单调递增，则f()A．1B．2C．1D．33．若函数()()()sin0fxxww=在区间,32上单调递减，则的取值范围是()A．0≤≤23B．0≤≤32C．23≤≤3D．32≤≤3考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性多维探究【例2】1.（2020·上海高三专题练习）下列函数中，既为偶函数又在(0,)上单调递增的是（）.A．tan||yxB．cos()yxC．sin2yxD．cot2xy2.．（2022·四川省高一期末）函数sin2cos22yxx是（）A．周期为4的奇函数B．周期为4的偶函数C．周期为2的奇函数D．周期为2的偶函数3.．（2022·大连市普兰店区第一中学高一月考）给出的下列命题中正确的是（）A．若，是第一象限角，且，则tantanB．函数3cos22xy是奇函数C．8x是函数5cos24yx的一条对称轴D．32sin2yx在区间,32上的最大值是2，最小值为2.4.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．sin2yxB．cos2xyC．sin2cos2xxD．221tan1tanxyx【跟踪训练】1．下列函数中为奇函数的是（）A．|sin|yxB．sinyxxC．sin4yxD．sinyxx2．能使sin(2)3cos(2)yxx为奇函数，且在0,4上是减函数的的一个值是（）A．5π3B．43C．23D．33．下列函数中，最小正周期为的偶函数是()A．sin2yxB．cos2xyC．sin2cos2yxxD．|sin|yx4．在下列函数中，既是0,2上的增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（）A．y=sinxB．y=cos2xC．|sin|yxD．|sin2|yx达标检测要扎实一、单选题1．函数sin,[0,2]yxx与12y图像交点的个数为（）A．0B．1C．2D．32．已知集合1cos2A，0B，ABC,则CA．06B．32C．03D．33．已知函数2sin()4yx，当y取得最小值时，tanx等于（）A．1B．1C．32D．324．下列四个函数，以为最小正周期，且在区间2（，）上单调递减的是（）A．sinyxB．cosyxC．tanyxD．cos2yx5．下列函数是奇函数的是（）A．cosfxxxB．2cosfxxxC．sinfxxxD．2sinfxxx6．若点,26P是函数sin0,2fxxm的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为2，则（）A．fx的最小正周期是B．fx的值域为0,4C．fx的初相3D．fx在4,23上单调递增7．下列区间中，函数7sin6fxx单调递增的区间是（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,228．已知函数()sinsin(0,0)3fxxaxa的最大值为3，且()fx在[0,]上的值域为3,32，则实数的取值范围是（）A．12,33B．11,32C．12,43D．11,429．设函数cos06fxx，在,上的图象大致如图，将该图象向右平移0mm个单位后所得图象关于直线6x对称，则m的最小值为（）A．4B．29C．518D．310．若函数sin2fxx与2cosgxx都在区间,ab上单调递减，则ba的最大值是A．π4B．π3C．π2D．2π311．若函数()tan(0)4fxx的最小正周期为，则（）A．(2)(0)5fffB．(0)(2)5fffC．(0)(2)5fffD．(0)(2)5fff12．函数2sin0fxx图像上一点,22Pstt向右平移2个单位，得到的点Q也在fx图像上，线段PQ与函数fx的图像有5个交点，且满足4fxfx，02ff，若yfx，0,2x与ya有两个交点，则a的取值范围为（）A．2,2B．2,2C．2,2D．2,2二、填空题13．若函数sin33kyx的周期不大于1，则正整数k的最小值为___________．14．若奇函数fx在其定义域R上是单调减函数，且对任意的xR，不等式2(cos2sin)(sin)0fxxfxa恒成立，则a取值范围是_______．15．已知函数()sin()fxx，其中0，||2„，4为()fx的零点，且()4fxf„恒成立，()fx在区间,1224上有最小值无最大值，则的最大值是_______16．若函数()sin(0)4fxx的图象在,124上与直线1y只有两个公共点，则的取值范围是___________.三、解答题17．求下列函数的定义域.（1）sinyx；（2）sincostanxxyx.18．求函数()tanfxx的最小正周期，并证明.19．当2,2x时，作出下列函数的图象，把这些图象与sinyx的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？（1）sinyx；（2）sinyx；（3）sinyx.20．不求值，指出下列各式大于零还是小于零.（1）sin25sin72；（2）1615sinsin34.21．已知函数sincosyfxxx，试根据下列要求研究函数fx的性质.（1）求证：函数fx是偶函数；（2）求证：2是函数fx的一个周期；（3）写出函数fx的单调区间（不必证明），并求函数fx的最值.22．设函数sin22cos24fxxxm，xR，mR（1）求函数fx的最小正周期及单调增区间；（2）当04x时，fx的最小值为0，求实数m的值.