第17节 等比数列及前n项和（原卷版）

第17节等比数列及前n项和基础知识要夯实1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G为a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1na，{2na}，{an·bn}，nnab仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，Sn＝111(1)(1)(1)11nnnaqaaqaqqqq6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.难点正本疑点清源1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．3．两个防范(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．典型例题剖析考点一等比数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]1．已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于()A．2B．1C.12D.182．(2022·湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1B．－12C．1或－12D．－1或123．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Snan＝________.【方法技巧】等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝11(1)11nnaaqaqqq.考点二等比数列的判定与证明【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．[解题技法]等比数列的判定方法定义法若1nnaa＝q(q为非零常数，n∈N*)或1nnaa＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且21na＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列【提醒】(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[过关训练]1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．考点三等比数列的性质及应用【例2】(1)已知等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log35(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.18B．－18C.578D.558(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.【答案】(1)B(2)A(3)2【解析】(1)由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18，所以a7＋a8＋a9＝18.(3)由题意，得=240=80SSSS奇偶奇偶，，解得=80=160SS奇偶，所以q＝160=80SS偶奇＝2.[解题技法]应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【跟踪训练】1．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．135B．100C．95D．802．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则212baa＝________.达标检测要扎实一、单选题1．已知na为等比数列，nS为其前n项和，若32342Saaa，则公比q（）．A．152B．152C．1D．22．已知数列na的前n项和为nS，11a，23a，且11222nnnnSSSn，若72nnSan对任意*nN都成立，则实数的最小值为（）A．52B．116C．332D．13．等比数列na中，12a，2q=，数列111nnnnabaa，nb的前n项和为nT，则10T的值为（）A．40944095B．20462047C．10221023D．5105114．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1709.9万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（）A．3233万元B．4706万元C．4808万元D．4938万元5．在正项数列na中，首项12a，且22*12,,2nnaannN是直线80xy上的点，则数列na的前n项和nS（）A．122nB．122nC．12nD．122n6．在等比数列na中，11a，238aa，则4512aaaa（）A．8B．6C．4D．27．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（）A．41ar元B．51ar元C．61ar元D．611arrr元8．已知各项均为正数的等比数列na的前4项和为15，且53134aaa，则3aA．16B．8C．4D．29．已知数列{}na满足13(N)nnaan，且12a，则123naaaa（）A．31nB．3nC．131nD．13n10．设等比数列na的前n项和为nS，若252,16aa，则10=S（）A．1023B．511C．1023D．51111．等比数列na中，若2116a，512a，则8a（）A．12B．10C．8D．412．5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少16，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（）A．88810665B．78810665C．78880665D．68610665二、填空题13．已知等比数列na的前n项和2nnSab，且52,9,aa成等差数列，则ab的值为___________.14．若数列na满足1130nnaa，则称na为“追梦数列”.已知数列11nb为“追梦数列”，且12b，则数列nb的通项公式nb__________.15．设等比数列na的前n项和为nS．若0na，35S，78920aaa，则15S_________．16．已知等比数列na的公比0q，其前n项和为nS，且236,14SS，则数列2211loglognnaa的前2021项和为___________.三、解答题17．已知正项数列{an}的首项a1＝1，其前n项和为Sn，且an与an+1等比中项是2nS，数列{bn}满足：1222nnnabbba．（Ⅰ）求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记nnnbca，n∈N*，证明：1212(1)1ncccn．18．已知正项数列na，其前n项和为,12nnnSaSnN．（1）求数列na的通项公式：（2）设112nnnbna，求数列nb的前n项和nT．19．已知等差数列{an}中，a1+a5＝16，a6＝17．(1)求数列{an}的通项公式；(2){bn}为正项数列，若{bn}的前n项和为Sn，且S1＝2，bn+1＝Sn+2，求数列{anbn}的前n项和Tn．20．已知数列na的前n项和为nS，且1a，na，nS为等差数列；数列nb满足16b，14nnnbSa.(1)求数列nb的前n项和nT；(2)若对于*Nn，总有3207464nnma成立，求实数m的取值范围.21．已知数列na是递增的等差数列，数列11nnaa的前n项和31nnSn（1）求na的通项公式；（2）若等比数列nb的各项均为正数，且11535,1babba，求数列nnab的前n项和nT22．已知数列na满足：114a，11230nnnnaaaa.（Ⅰ）证明：数列11na