第18节 等差数列及前n项和（原卷版）

第18节等差数列及前n项和基础知识要夯实1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果A＝2ab，那么A叫作a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝1()2nnaa或Sn＝na1＋(1)2nnd.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝2dn2＋12dan.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最__大__值；若a10，d0，则Sn存在最__小__值．难点正本疑点清源1．等差数列的判断方法(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(3)S2n－1＝(2n－1)an.(4)若n为偶数，则S偶－S奇＝2nd.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．3．等差数列与函数在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.典型例题剖析考点一等差数列基本量的运算[题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．122．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．83．(2022·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1＞0，则S20＝()A．420B．340C．－420D．－3404．(2022·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S4＜S3B．S4＝S3C．S4＞S1D．S4＝S1【方法技巧】等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．(2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．[提醒]在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．考点二等差数列的判定与证明【例1】若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1nS成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【跟踪训练】1．(变设问)本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由．2．(变条件)将本例条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12”变为“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解．[解题技法]等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列【提醒】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．[过关训练]1．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝23nnna，求证：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．2．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝11na.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关]【例2】(1)(2022·咸阳二模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝()A．58B．54C．56D．52(2)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为()A．100B．120C．390D．540(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，20142008620142008SS，则S2019＝________.[解题技法]一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；nSn也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．【跟踪训练】1．(2022·聊城模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13＝104，a6＝5，则数列{an}的公差为()A．2B．3C．4D．52．(2022·宁德二检)已知等差数列{an}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝()A．33B．16C．13D．123．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若231nnSnTn，则1111ab＝________.考点四等差数列前n项和的最值问题[师生共研过关]【例3】在等差数列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．[解题技法]求数列前n项和的最值的方法(1)通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n的值可用不等式组10,0,nnaa来确定；②若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n的值可用不等式组10,0,nnaa来确定．(2)二次函数法：等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋(1)2nnd＝2dn2＋12dan，可用求函数最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值．(3)不等式组法：借助Sn最大时，有11nnnnSSSS(n≥2，n∈N*)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值)．[过关训练]1．已知等差数列{an}的前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则Sn的最大值是()A．S1B．S7C．S8D．S152．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．达标检测要扎实一、单选题1．已知数列na中，11a，111nnnnaaaanN，若110ma，则m（）A．8B．9C．10D．112．已知等差数列na的公差d为正数，等比数列nb的公比为q，若11221441,,ababab，则dq（）A．4B．5C．6D．73．在等差数列na中，若1241,10aaa，则20a（）A．35B．37C．39D．414．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（）A．辛酉年B．辛戊年C．壬酉年D．壬戊年5．数列na中，15a，13nnaa，那么这个数列的通项公式是（）A．31nB．32nC．32nD．31n6．已知等差数列na的前n项和为nS，若780aa，790aa，则nS取最大值时n的值为（）A．8B．5C．6D．77．已知数列na是首项为a，公差为1的等差数列，数列nb满足1.nnnaba若对任意的*nN，都有6nbb成立，则实数a的取值范围是（）A．6,5B．6,5C．5,4D．5,48．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是A．211B．811C．1611D．18119．定义：在数列na中，若满足211nnnnaadaa（nN，d为常数），称na为“等差比数列”。已知在“等差比数列”na中，1231,3aaa则20152013aa（）A．2420151B．2420141C．2420131D．24201310．已知数列na是等差数列，2963aaa，公差4d，则其前11项和等于（）A．44B．22C．－44D．－2211．设等差数列na的前n项和为nS，数列nb的前n和为nT，已知51011 11,120,nnnaSbaa，若17kT，则正整数k的值为（）A．9B．8C．7D．612．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．8B．6C．4.5D．3二、填空题13．在等差数列na中，0na，且1231030aaaa，则56aa的最大值是________.14．已知数列na中，32a，71a，若11na为等差数列，则19a________.15．已知数列na中，11a，133nnnaa，则na______．16．设等差数列na的前n项和为nS，若376,28SS，则14nnaaS的最大值是__三、解答题17．在①211521aaaa，；②359,25SS；③2nSn.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中.已知等差数列na的前n项和为nS，且公差0d，若___________.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）记11nnnbaa，求数列nb的前n项和nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知正项数列na的前n项和为nS，满足1nnnaSS（2n，*nN），11a.（1）求数列na的通项公式；（2）设1cosπnnnnbnaa，求数列nb的前2n项和2nT的表达式.19．已知公差0d的等差数列na，nS是na的前n项和，28a，21S是1a和46S的等比中项.（1）求na的通项公式；（2）设数列nb满足11nnnb