第29节 椭圆（解析版）

第29节椭圆基础知识要夯实1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b21.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b21；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中：(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝2b2a.5.AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－b2x0a2y0.基本技能要落实考点一椭圆的定义及其应用【例1】1.(2022·保定模拟)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.【答案】x225＋y216＝1【解析】设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|＝6，即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.2.椭圆C：x2a2＋y2＝1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为23，则△PF1F2的周长为________.【答案】23＋22【解析】由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，所以OM∥PF2，ON∥PF1，所以四边形OMPN为平行四边形，且|OM|＝12|PF2|，|ON|＝12|PF1|，所以▱OMPN的周长为2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝23，所以a＝3，又知a2＝b2＋c2，b2＝1.所以c2＝a2－1＝2，所以|F1F2|＝2c＝22，所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝23＋22.3.设点P为椭圆C：x2a2＋y24＝1(a2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.【答案】433【解析】由题意知，c＝a2－4.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2a2－4，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝163，∴S△PF1F2＝12|F1P|·|PF2|sin60°＝12×163×32＝433.4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.【答案】6＋26－2【解析】椭圆方程化为x29＋y25＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，∴|AF1|＝2，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，∴6－2≤|PA|＋|PF|≤6＋2.【方法技巧】1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系.考点二椭圆的标准方程【例2】(1)(2021·湖北四地七校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为()A.x24＋y23＝1B.x216＋y212＝1C.x22＋y2＝1D.x24＋y22＝1(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________.(3)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.【答案】(1)A(2)y210＋x26＝1(3)y220＋y24＝1【解析】(1)如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，∴4a＝8，a＝2，又离心率为12，∴c＝1，b2＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n0，m≠n).由－322m＋522n＝1，3m＋5n＝1，解得m＝16，n＝110.∴椭圆方程为y210＋x26＝1.(3)法一(待定系数法)设所求椭圆方程为y225－k＋x29－k＝1(k9)，将点(3，－5)的坐标代入可得（－5）225－k＋（3）29－k＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.法二(定义法)椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a＝25.由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.【方法技巧】根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.(3)椭圆系方程①与x2a2＋y2b2＝1共焦点的椭圆系为x2a2－k＋y2b2－k＝1(kb2).②与x2a2＋y2b2＝1有共同的离心率的椭圆系为x2a2＋y2b2＝λ或y2a2＋x2b2＝λ(λ0).【跟踪训练】1.已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________________.【答案】x29＋y2＝1或y281＋x29＝1【解析】法一若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0).由题意，得2a＝3×2b，9a2＋0b2＝1，解得a＝3，b＝1.所以椭圆的标准方程为x29＋y2＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0).由题意得2a＝3×2b，0a2＋9b2＝1，解得a＝9，b＝3.所以椭圆的标准方程为y281＋x29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.法二设椭圆的方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0，m≠n)，则由题意，知9m＝1，2m＝3×2n或9m＝1，2n＝3×2m，解得m＝9，n＝1或m＝9，n＝81.所以椭圆的标准方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.考点三椭圆的几何性质【例3】(1)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223(2)(2022·成都质检)已知椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，焦距为2c，直线l：y＝24x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为()A.32B.34C.12D.14(3)(2022·淮北一模)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________.【答案】(1)C(2)A(3)33【解析】(1)不妨设a0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝22，所以椭圆C的离心率e＝ca＝22.(2)设第一象限的交点为A(x，y)，直线y＝24x的倾斜角为α，由tanα＝24，得sinα＝13，cosα＝223，即A223c，13c，把点A的坐标代入椭圆方程，整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)·(2e2－3)＝0，又0e1，所以e＝32.(3)由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝a2－b2.因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，故由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为Ac，b2a，Bc，－b2a.因为AB平行于y轴，且F1O＝OF2，所以F1D＝DB，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为0，－b22a.又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即b2a－－b22ac－0×－b2a－0c＋c＝－1，整理得3b2＝2ac，所以3(a2－c2)＝2ac.又e＝ca，0＜e＜1，所以3e2＋2e－3＝0，解得e＝33.【例4】(1)已知点A(0，2)及椭圆x24＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________.(2)(2021·江西大联考)椭圆G：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足F1M→·F2M→＝0.则椭圆离心率e的取值范围为()A.0，22B.0，22C.22，1D.22，1【答案】(1)2213(2)D【解析】(1)设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，∴|PA|2＝x20＋(y0－2)2.∵x204＋y20＝1，∴|PA|2＝4(1－y20)＋(y0－2)2＝－3y20－4y0＋8＝－3y0＋232＋283.∵－1≤y0≤1，∴当y0＝－23时，|PA|2max＝283，即|PA|max＝2213.(2)法一设点M的坐标为(x0，y0)，∵F1M→·F2M→＝0，F1(－c，0)，F2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋y20＝0，即x20＋y20＝c2.①又知点M在椭圆G上，∴x20a2＋y20b2＝1，②由①②联立结合a2－b2＝c2解得x20＝a2（c2－b2）c2，由椭圆的性质可得0≤x20≤a2，即a2（c2－b2）c2≥0，a2（c2－b2）c2≤a2，即c2≥b2，c2－b2≤c2，所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥12，又知0e1，∴22≤e1，故选D.法二∵椭圆G上存在点M使F1M→·F2M→＝0，∴MF1⊥MF2，即