第31节 抛物线（解析版）

第31节抛物线基础知识要夯实1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径.基本技能要落实考点一抛物线的定义及标准方程1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为()A.x2＝－12y或y2＝16xB.x2＝12y或y2＝－16xC.x2＝9y或y2＝12xD.x2＝－9y或y2＝－12x【答案】A【解析】对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则p2＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则p2＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.2.若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A.12B.1C.32D.2【答案】B【解析】设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2.∴xP＋1＝2，∴xP＝1.代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝12·|OF|·|yP|＝12×1×2＝1.3.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.【答案】y2＝4x【解析】设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.【方法技巧】1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.考点二抛物线的几何性质【例2】(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.14，0B.12，0C.(1，0)D.(2，0)(2)A是抛物线y2＝2px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是()A.x＝－1B.y＝－1C.x＝－2D.y＝－2【答案】(1)B(2)A【解析】(1)将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2p，不妨设D(2，2p)，E(2，－2p)，由OD⊥OE，可得OD→·OE→＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.其焦点坐标为12，0.故选B.(2)过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D(图略).因为∠OFA＝120°，所以∠BAF＝60°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.故选A.【方法技巧】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【跟踪训练】1.(2022·长春质量监测)过抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点F作直线与该抛物线交于A，B两点，若3|AF|＝|BF|，O为坐标原点，则|AF||OF|＝()A.43B.34C.4D.54【答案】A【解析】由题意，知F0，p2，准线l：y＝－p2.作AE⊥l于点E，BG⊥l于点G，过点A作AD⊥BG于点D，交y轴于点H，设|AF|＝x，则|BF|＝3x.由抛物线的定义，知|AE|＝|AF|＝x，|BG|＝|BF|＝3x，|AB|＝x＋3x＝4x，|BD|＝3x－x＝2x，|FH|＝p－x.由△AHF∽△ADB，得|AF||AB|＝|FH||BD|，即x4x＝p－x2x，解得x＝23p，所以|AF||OF|＝23pp2＝43，故选A.考点三与抛物线有关的最值问题【例3】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________.【答案】(1)3(2)－22【解析】(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝2.故|PA|－|PF|最小值为－2，最大值为2.【例4】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.【答案】5【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝5.【例5】已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.34B.32C.1D.2【答案】D【解析】由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝|AA1|＋|BB1|2.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.【例5】已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.【答案】2【解析】由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.【例6】(2022·榆林一模)抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是________.【答案】12，1【解析】法一设与y＝4x－5平行的直线y＝4x＋b与y＝4x2相切，将y＝4x＋b代入y＝4x2，得4x2－4x－b＝0.①由Δ＝16＋16b＝0得b＝－1，代入①得x＝12，∴所求点为12，1.法二设该点坐标为A(x0，y0)，那么有y0＝4x20.设点A到直线y＝4x－5的距离为d，则d＝|4x0－y0－5|42＋1＝117|－4x20＋4x0－5|＝117|4x20－4x0＋5|＝1174x0－122＋4.当且仅当x0＝12时，d有最小值，将x0＝12代入y＝4x2解得y0＝1.故A点坐标为12，1.【方法技巧】1.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题.2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值.3.解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.4.解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解.5.过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值.6.抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.【跟踪训练】1.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为()A.－14，1B.14，1C.(－2，－22)D.(－2，22)【答案】A【解析】如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－14，则点P的坐标为－14，1.故选A.2.(2022·河南六市一模)已知点M是抛物线x2＝4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上一动点，则|MA|＋|MF|的最小值为()A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】作MP垂直于抛物线的准线，垂足为P，利用抛物线的定义知|MP|＝|MF|，当M、A、P、C四点共线时，|MA|＋|MF|的值最小，此时CM⊥x轴，则(|MA|＋|MF|)min＝|CP|－1＝5－1＝4.考点四直线与抛物线的综合问题【例7】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.【解析】设直线l的方程为y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得F34，0，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32.又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝52.由y＝32x＋t，y2＝3x可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)0，则x1＋x2＝－12（t－1）9.从而－12（t－1）9＝52，得t＝－78(满足Δ0).所以l的方程为y＝32x－78.(2)由AP→＝3PB→可得y1＝－3y2.由y＝32x＋t，y2＝3x可得y2－2y＋2t＝0，其中Δ＝4－8t0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝13.所以A(3，3)，B13，－1，故|AB|＝4133.【方法技巧】1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【跟踪训练】1.(2022·汉