专题11 平面向量（教师版）

专题11平面向量1．【2022年全国乙卷】已知向量𝑎⃑=(2,1)，𝑏⃑⃑=(−2,4)，则|𝑎⃑−𝑏⃑⃑|（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】【分析】先求得𝑎⃑−𝑏⃑⃑，然后求得|𝑎⃑−𝑏⃑⃑|.【详解】因为𝑎⃑−𝑏⃑⃑=(2,1)−(−2,4)=(4,−3)，所以|𝑎⃑−𝑏⃑⃑|=√42+(−3)2=5.故选：D2．【2022年全国乙卷】已知向量𝑎⃑,𝑏⃑⃑满足|𝑎⃑|=1,|𝑏⃑⃑|=√3,|𝑎⃑−2𝑏⃑⃑|=3，则𝑎⃑⋅𝑏⃑⃑=（）A．−2B．−1C．1D．2【答案】C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵|𝑎⃗−2𝑏⃑⃗|2=|𝑎⃗|2−4𝑎⃗⋅𝑏⃑⃗+4|𝑏⃑⃗|2，又∵|𝑎⃗|=1,|𝑏⃑⃗|=√3,|𝑎⃗−2𝑏⃑⃗|=3,∴9=1−4𝑎⃗⋅𝑏⃑⃗+4×3=13−4𝑎⃗⋅𝑏⃑⃗，∴𝑎⃗⋅𝑏⃑⃗=1故选：C.3．【2022年新高考1卷】在△𝐴𝐵𝐶中，点D在边AB上，𝐵𝐷=2𝐷𝐴．记𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑚⃑⃑⃗，𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑛⃑⃗，则𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（）A．3𝑚⃑⃑⃗−2𝑛⃑⃗B．−2𝑚⃑⃑⃗+3𝑛⃑⃗C．3𝑚⃑⃑⃗+2𝑛⃑⃗D．2𝑚⃑⃑⃗+3𝑛⃑⃗【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，𝐵𝐷=2𝐷𝐴，所以𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝐷𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，所以𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3𝑛⃑⃑−2𝑚⃑⃑⃑=−2𝑚⃑⃑⃗+3𝑛⃑⃗．故选：B．4．【2022年新高考2卷】已知向量𝑎⃑=(3,4),𝑏⃑⃑=(1,0),𝑐⃑=𝑎⃑+𝑡𝑏⃑⃑，若𝑎⃑,𝑐⃑=𝑏⃑⃑,𝑐⃑，则𝑡=（）A．−6B．−5C．5D．6【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：𝑐⃗=(3+𝑡,4),cos〈𝑎⃗,𝑐⃗〉=cos〈𝑏,𝑐⃗〉,即9+3𝑡+165|𝑐⃗|=3+𝑡|𝑐⃗|,解得𝑡=5,故选：C5．【2020年新课标2卷文科】已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）A．2abB．2abC．2abD．2ab【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos601122abab.A：因为215(2)221022abbabb，所以本选项不符合题意；B：因为21(2)221202abbabb，所以本选项不符合题意；C：因为213(2)221022abbabb，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102abbabb，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6．【2020年新课标3卷理科】已知向量a，b满足||5a，||6b，6ab，则cos,=aab（）A．3135B．1935C．1735D．1935【答案】D【解析】【分析】计算出aab、ab的值，利用平面向量数量积可计算出cos,aab的值.【详解】5a，6b，6ab，225619aabaab.22222526367ababaabb，因此，1919cos,5735aabaabaab.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是（）A．()2,6B．(6,2)C．(2,4)D．(4,6)【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)，结合向量数量积的定义式，可知APAB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，所以APAB的取值范围是()2,6，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8．【2020年新高考2卷（海南卷）】在ABC中，D是AB边上的中点，则CB=（）A．2CDCAB．2CDCAC．2CDCAD．2CDCA【答案】C【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】222CBCAABCAADCACDCACDCA故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.9．【2019年新课标1卷理科】已知非零向量ab，满足2ab=，且bab（–），则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()abb得出向量,ab的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()abb，所以2()abbabb=0，所以2abb，所以cos=22||122||abbbab，所以a与b的夹角为3，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．10．【2019年新课标2卷理科】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则ABBC=A．-3B．-2C．2D．3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BCACABt，221(3)1BCt，得3t，则(1,0)BC，(2,3)(1,0)21302ABBC．故选C．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．11．【2019年新课标2卷文科】已知向量()()2332ab，，，，则|–|abA．2B．2C．52D．50【答案】A【解析】【分析】本题先计算ab，再根据模的概念求出||ab．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)ab，所以22||(1)12ab，故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．12．【2018年新课标1卷理科】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBA．3144ABACB．1344ABACC．3144ABACD．1344ABAC【答案】A【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BEBABD，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BCBAAC，之后将其合并，得到3144BEBAAC，下一步应用相反向量，求得3144EBABAC，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得111111222424BEBABDBABCBABAAC1113124444BABAACBAAC，所以3144EBABAC，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.13．【2018年新课标2卷理科】已知向量a,b满足a1，ab1，则a(2ab)A．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,aabaaba所以选B.点睛：向量加减乘：221212(,),||,cos,abxxyyaaababab14．【2021年新高考1卷】已知O为坐标原点，点1cos,sinP，2cos,sinP，3cos,sinP，()1,0A，则（）A．12OPOPB．12APAPC．312OAOPOPOPD．123OAOPOPOP【答案】AC【解析】【分析】A、B写出1OP，2OP、1APuuur，2APuuur的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：1(cos,sin)OP，2(cos,sin)OP，所以221||cossin1OP，222||(cos)(sin)1OP，故12||||OPOP，正确；B：1(cos1,sin)AP，2(cos1,sin)AP，所以222221||(cos1)sincos2cos1sin2(1cos)4sin2|sin|22AP，同理222||(cos1)sin2|sin|2AP，故12||,||APAP不一定相等，错误；C：由题意得：31cos()0sin()cos()OAOP，12coscossin(sin)cos()OPOP，正确；D：由题意得：11cos0sincosOAOP，23coscos()(sin)sin()OPOPcosβαβcosα2β，故一般来说123OAOPOPOP故错误；故选：AC15．【2022年全国甲卷】已知向量𝑎⃑=(𝑚,3),𝑏⃑⃑=(1,𝑚+1)．若𝑎⃑⊥𝑏⃑⃑，则𝑚=______________．【答案】−34##−0.75【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：𝑎⃑⋅𝑏⃑⃑=𝑚+3(𝑚+1)=0，解得𝑚=−34.故答案为：−34.16．【2022年全国甲卷】设向量𝑎⃑，𝑏⃑⃑的夹角的余弦值为13，且|𝑎⃑|=1，|𝑏⃑⃑|=3，则(2𝑎⃑+𝑏⃑⃑)⋅𝑏⃑⃑=_________．【答案】11【解析】【分析】设𝑎⃑与𝑏⃑⃑的夹角为𝜃，依题意可得cos𝜃=13，再根据数量积的定义求出𝑎⃑⋅𝑏⃑⃑，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设𝑎⃑与𝑏⃑⃑的夹角为𝜃，因为𝑎⃑与𝑏⃑⃑的夹角的余弦值为13，即cos𝜃=13，又|𝑎⃑|=1，|𝑏⃑⃑|=3，所以𝑎⃑⋅𝑏⃑⃑=|𝑎⃑|⋅|𝑏⃑⃑|cos𝜃=1×3×13=1，所以(2𝑎⃑+𝑏⃑⃑)⋅𝑏⃑⃑=2𝑎⃑⋅𝑏⃑⃑+𝑏⃑⃑2=2𝑎⃑⋅𝑏⃑⃑+|𝑏⃑⃑|2=2×1+32=11．故答案为：11．17．【2021年甲卷文科】若向量,ab满足3,5,1aabab，则b_________.【答案】32【解析】【分析】根据题目条件，利用ab模的平方可以得出答案【详解】∵5ab∴222229225abababb∴32br.故答案为：32.18．【2021年甲卷理科】已知向量3,1,1,0,ab