专题16 概率与统计（解答题）（理科专用）（教师版）

专题16概率与统计（解答题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【答案】(1)0.6；(2)分布列见解析，𝐸(𝑋)=13.【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为𝐴,𝐵,𝐶，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，𝑋的可能取值为0,10,20,30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为𝐴,𝐵,𝐶，所以甲学校获得冠军的概率为𝑃=𝑃(𝐴𝐵𝐶)+𝑃(𝐴̅𝐵𝐶)+𝑃(𝐴𝐵̅𝐶)+𝑃(𝐴𝐵𝐶̅)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6．(2)依题可知，𝑋的可能取值为0,10,20,30，所以，𝑃(𝑋=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,𝑃(𝑋=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，𝑃(𝑋=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，𝑃(𝑋=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即𝑋的分布列为𝑋0102030𝑃0.160.440.340.06期望𝐸(𝑋)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.2．【2022年新高考1卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐵̅|𝐴)与𝑃(𝐵|𝐴̅)𝑃(𝐵̅|𝐴̅)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：𝑅=𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴̅|𝐵)⋅𝑃(𝐴̅|𝐵̅)𝑃(𝐴|𝐵̅)；（ⅱ）利用该调查数据，给出𝑃(𝐴|𝐵),𝑃(𝐴|𝐵̅)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑃(𝐾2≥𝑘)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)𝑅=6；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出𝐾2的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求𝑅.(1)由已知𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=200(40×90−60×10)250×150×100×100=24，又𝑃(𝐾2≥6.635)=0.01，246.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i)因为𝑅=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐵̅|𝐴)⋅𝑃(𝐵̅|𝐴̅)𝑃(𝐵|𝐴̅)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵̅)⋅𝑃(𝐴̅𝐵̅)𝑃(𝐴̅)⋅𝑃(𝐴̅)𝑃(𝐴̅𝐵)，所以𝑅=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐵)𝑃(𝐴̅𝐵)⋅𝑃(𝐴̅𝐵̅)𝑃(𝐵̅)⋅𝑃(𝐵̅)𝑃(𝐴𝐵̅)所以𝑅=𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴̅|𝐵)⋅𝑃(𝐴̅|𝐵̅)𝑃(𝐴|𝐵̅)，(ii)由已知𝑃(𝐴|𝐵)=40100，𝑃(𝐴|𝐵̅)=10100，又𝑃(𝐴̅|𝐵)=60100，𝑃(𝐴̅|𝐵̅)=90100，所以𝑅=𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴̅|𝐵)⋅𝑃(𝐴̅|𝐵̅)𝑃(𝐴|𝐵̅)=63．【2022年新高考2卷】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.【答案】(1)44.65岁；(2)0.89；(3)0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设𝐴={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴̅)即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．(1)平均年龄𝑥̅=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.012+75×0.006+85×0.002)×10=44.65（岁）．(2)设𝐴={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴̅)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89．(3)设𝐵={任选一人年龄位于区间[40,50)}，𝐶={任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得𝑃(𝐶|𝐵)=𝑃(𝐵𝐶)𝑃(𝐵)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014．4．【2021年新高考1卷】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B类．【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100．010.80.2PX；200.810.60.32PX；1000.80.60.48PX．所以X的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，00.2200.321000.4854.4EX．若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100．010.60.4PY；800.610.80.12PY；1000.80.60.48PX．所以00.4800.121000.4857.6EY．因为54.457.6，所以小明应选择先回答B类问题．5．【2021年新高考2卷】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)iPXipi．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1pppp，求()EX；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：230123ppxpxpxx的一个最小正实根，求证：当()1EX时，1p，当()1EX时，1p；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用公式计算可得()EX.（2）利用导数讨论函数的单调性，结合10f及极值点的范围可得fx的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）()00.410.320.230.11EX.（2）设3232101fxpxpxpxp，因为32101pppp，故32322030fxpxpxpppxp，若1EX，则123231ppp，故2302ppp.23220332fxpxpxppp，因为20300fppp，230120fppp，故fx有两个不同零点12,xx，且1201xx，且12,,xxx时，0fx；12,xxx时，0fx；故fx在1,x，2,x上为增函数，在12,xx上为减函数，若21x，因为fx在2,x为增函数且10f，而当20,xx时，因为fx在12,xx上为减函数，故210fxfxf，故1为230123ppxpxpxx的一个最小正实根，若21x，因为10f且在20,x上为减函数，故1为230123ppxpxpxx的一个最小正实根，综上，若1EX，则1p.若1EX，则123231ppp，故2302ppp.此时20300fppp，230120fppp，故fx有两个不同零点34,xx，且3401xx，且34,,xxx时，0fx；34,xxx时，0fx；故fx在3,x，4,x上为增函数，在34,xx上为减函数，而10f，故40fx，又000fp，故fx在40,x存在一个零点p，且1p.所以p为230123ppxpxpxx的一个最小正实根，此时1p，故当1EX时，1p.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.6．【2020年新课标1卷理科】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【答案】（1）116；（2）34；（3）716.【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求