易错点08 立体几何（解析版）

易错点08立体几何易错点1：平行和垂直的判定在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。立体几何中平行与垂直的易错点易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视,//,aabb三个条件中的某一个。易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；易错点2：异面直线所成的角1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。2.求异面直线所成角的步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。的范围是090°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。易错点3：直线与平面所成的角1.传统几何方法：①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。②利用三面角定理（即最小角定理）21coscoscos求1。2.向量方法：设n为平面的法向量，直线a与平面所成的角为，则,2,,2,2,0,,,2nananana易错点4：二面角用向量求二面角大小的基本步骤1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；2.求出平面的法向量1n，平面的法向量2n3.进行向量运算求出法向量的夹角121212cos,nnnnnn；4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：2121,coscos,coscosnnnn，为钝角时当二面角为锐角时1．已知,lm是两条不同的直线，是平面，且//m，则（）A．若lm，则l∥B．若l∥，则lmC．若lm，则lD．若l，则lm【答案】D【详解】依题意//m，A选项，若//lm，则可能l，所以A选项错误.B选项，若//l，则l与m可能相交、异面、平行，所以B选项错误.C选项，若lm，则可能l，所以C选项错误.D选项，由于//m，所以平面内存在直线n，满足//mn，若l，则ln，则lm，所以D选项正确.故选：D2．已知直三棱柱111ABCABC各棱长均相等，点D，E分别是棱11AB，1CC的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（）A．15B．15C．35D．35-【答案】A【详解】设直三棱柱的棱长为1，则22151()22ADBE，点D，E分别是棱11AB，1CC的中点，11112ADAAADBBBA，112BEBCCEBCBB，1111()()22ADBEBBBABCBB2111111224BBBCBBBABCBABB1111cos602214，所以114cos,55522ADBEADBEADBE．所以异面直线AD与BE所成角的余弦值为15．故选：A．3．如图，正方体1111ABCDABCD中，P是1AD的中点，则下列说法正确的是（）A．直线PB与直线1AD垂直，直线PB∥平面11BDCB．直线PB与直线1DC平行，直线PB平面11ACDC．直线PB与直线AC异面，直线PB平面11ADCBD．直线PB与直线11BD相交，直线PB平面1ABC【答案】A【详解】连接11111,,,,DBABDBDCBC；由正方体的性质可知1BABD，P是1AD的中点，所以直线PB与直线1AD垂直；由正方体的性质可知1111//,//DBDBABDC，所以平面1//BDA平面11BDC，又PB平面1BDA，所以直线PB∥平面11BDC，故A正确；以D为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，111,1,,0,1,122PBDC显然直线PB与直线1DC不平行，故B不正确；直线PB与直线AC异面正确，1,0,0DA，102PBDA，所以直线PB与平面11ADCB不垂直，故C不正确；直线PB与直线11BD异面，不相交，故D不正确；故选：A.4．平行六面体1112ABCDABCD中，111,3AABAADBADABADAA，则1BD与底面ABCD所成的线面角的正弦值是（）A．33B．63C．12D．32【答案】A【详解】解：如图所示，连接AC，BD相交于点O，连接1AO．平行六面体1111ABCDABCD中113AABAADBAD，且1ABADAA，不妨令12ABADAA1AAB，1AAD△，ABD△都是等边三角形．1ABD是等边三角形．ACBD，1AOBD，1AOACO，1,AOAC平面11AACCBD平面11AACC，BD平面ABCD，平面11AACC平面ABCD，1AAC是1AA与底面ABCD所成角．因为12AA，13AOAO，所以1132cos332AAO．如图建立空间直角坐标系，则3,0,0A，0,1,0B，0,1,0D，1326,0,33A，其中1A的坐标计算如下，过1A作1AEAC交AC于点E，因为13cos3AAO，11cosAEAAOAA，所以1123cos3AOEAAAA，所以233333OEOAAE，2222112326233AEAAAE，因为11(3,1,0)ADAD所以12326,1,33D，所以12326,2,33BD，显然平面ABCD的法向量为0,0,1n，设1BD与底面ABCD所成的角为，则112633sin322BDnBDn故选：A5．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β【答案】D【详解】A选项，m⊥n，m⊥α，则可能n，故A错误；B选项，//m，∥，则可能m，故B错误；C选项，m，，则可能m，也可能m∥，故C错误；D选项，因为m，mn，所以n或//n，当n时，因为n，所以由面面垂直的判定定理知，当//n时，存在//nn且n，所以n，所以可得，故D正确.故选：D.1．在长方体1111ABCDABCD中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30°，则（）A．2ABADB．AB与平面11ABCD所成的角为30°C．1ACCBD．1BD与平面11BBCC所成的角为45【答案】D【详解】如图所示：不妨设1,,ABaADbAAc，依题以及长方体的结构特征可知，1BD与平面ABCD所成角为1BDB，1BD与平面11AABB所成角为1DBA，所以11sin30cbBDBD，即bc，22212BDcabc，解得2ac．对于A，ABa=，ADb=，2ABAD，A错误；对于B，过B作1BEAB于E，易知BE平面11ABCD，所以AB与平面11ABCD所成角为BAE，因为2tan2cBAEa，所以30BAE，B错误；对于C，223ACabc，2212CBbcc，1ACCB，C错误；对于D，1BD与平面11BBCC所成角为1DBC，112sin22CDaDBCBDc，而1090DBC，所以145DBC．D正确．故选：D．2．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m．时，相应水面的面积为21400km．；水位为海拔1575m．时，相应水面的面积为21800km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m．上升到1575m．时，增加的水量约为（72.65）（）A．931.010mB．931.210mC．931.410mD．931.610m【答案】C【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积262140.014010Skmm，下底面积262180.018010Skmm，∴661211914010180101401801033VhSSSS6799333206071096182.65101.437101.410(m)．故选：C．3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π【答案】A【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,rr，所以1233432,2sin60sin60rr，即123,4rr，设球心到上下底面的距离分别为12,dd，球的半径为R，所以219dR，2216dR，故121dd或121dd，即229161RR或229161RR，解得225R符合题意，所以球的表面积为24π100πSR．故选：A．4．如图，已知正三棱柱1111,ABCABCACAA，E，F分别是棱11,BCAC上的点．记EF与1AA所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角FBCA的平面角为，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】如图所示，过点F作FPAC于P，过P作PMBC于M，连接PE，则EFP，FEP，FMP，tan1PEPEFPAB，tan1FPABPEPE，tantanFPFPPMPE，所以，故选：A．5．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．23B．24C．26D．27【答案】D【详解】该几何体由直三棱柱AFDBHC及直三棱柱DGCAEB组成，作HMCB于M，如图，因为3,120CHBHCHB，所以333,22CMBMHM，因为重叠后的底面为正方形，所以33ABBC,在直棱柱AFDBHC中，AB平面BHC，则ABHM,由ABBCB可得HM平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为,I则132713813333,=3333=322224IBCDAAFDBHCVV则该几何体的体积为8127222742AFDBHCIBCDAVVV.故选：D.一、单选题1．已知正三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．3πC．6πD．9π【答案】C【详解】由题意，正三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，此三棱锥SABC可补形为一个