易错点16 随机变量及其分布列（学生版）

易错点16随机变量及其分布列易错点1.随机变量和分布列理解错误1.离散型随机变量一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn3.离散型随机变量的分布列的性质(1)pk≥0，k＝1，2，…，n；(2)∑nk＝1pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝∑ni＝1xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).(2)方差D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝∑ni＝1[xi－E(X)]2pi，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.(3)标准差称D（X）称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).5.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).易错点2.常见分布列分辨不清1.n次独立试验与二项分布(1)n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.(2)二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cknpkqn－k，k＝0，1，…，n，因此X的分布列如下表所示X01…k…nPC0np0qnC1np1qn－1…Cknpkqn－k…Cnnpnq0注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝C0np0qn＋C1np1qn－1＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).2.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).3.超几何分布一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(MN)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s为M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝t，t＋1，…，s，这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M).4.正态分布(1)正态曲线φ(x)＝1σ2πe－（x－μ）22σ2，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝D（X），即X的标准差.φ(x)也常常记为φμ，σ(x).(2)正态曲线的一些性质①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；③σ决定正态曲线的“胖瘦”；σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.1．盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为X，则随机变量X的数学期望EX（）A．118B．98C．78D．582．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布280,N，已知60800.3P，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从100分以下的试卷中应抽取（）A．20份B．60份C．80份D．90份3．某种包装的大米质量ξ（单位：kg）服从正态分布2~10,N，根据检测结果可知9.9810.020.98P，某公司购买该种包装的大米3000袋．大米质量在10.02kg以上的袋数大约为（）A．10B．20C．30D．404．若随机事件A，B满足112(),(),()323PAPBPAB，则()PAB（）A．16B．13C．12D．235．已知随机变量服从正态分布2,N，若函数()(2)fxPxx是偶函数，则实数（）A．0B．12C．1D．21．已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且(24)PX=0.6826，则p（X4）=（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.15852．设两个正态分布2111()(0)N，和2222()(0)N，的密度函数图像如图所示．则有A．1212,B．1212,C．1212,D．1212,3．已知随机变量服从正态分布22,N，且40.8P，则02P（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.24．某物理量的测量结果服从正态分布210,N，下列结论中不正确的是（）A．越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A．16625B．96625C．192625D．256625一、单选题1．若1()9PAB，2()3PA，1()3PB，则事件A与B的关系是（）A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立D．事件A与B既互斥又相互独立2．已知随机变量服从正态分布20,N，若20.023P，则22P（）A．0.977B．0.954C．0.5D．0.0233．读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M.2PCle4.0NVMe协议的固态硬盘平均读取速度可达7000MB/S以上．某企业生产的该种固态硬盘读取速度（MB/S）服从正态分布2~7400,XN．若(74007600)0.3PX，则可估计该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于7200MB/S的个数为（）A．100B．200C．300D．4004．下列说法错误的是（）A．相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强B．若2~2,XN，且130.5PX，则30.25PXC．相关指数20.64R，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高5．目前，国际上常用身体质量指数BMI22kgm体重单位：身高单位：来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为3100；女员工中，肥胖者的占比为2100，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（）A．3100B．9200C．35D．346．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．13B．25C．23D．457．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以12,AA和3A表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A．2411PBAB．事件1A与事件B相互独立C．312PABD．3()10PB8．已知两个随机变量X，Y，其中1~5,5XB，2~,YN（σ0），若E(X)=E(Y)，且10.3PY，则1PY（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.1二、多选题9．给出下列命题，其中错误命题是（）A．若样本数据12,,,nxxx（数据各不相同）的平均数为3，则样本数据123x，223x，…，23nx的平均数为2B．随机变量X的方差为1DX，则213DXC．随机变量X服从正态分布22,N，10.72PX，则230.22PXD．随机变量~,Bnp，若30E，20D，则45n10．已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第1k次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n次取出的球是红球的概率为nP，则下列说法正确的是（）A．259PB．131nnPPC．第5次取出的球是红球的概率为122243D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是139243三、解答题11．有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下个球，则求的分布列与数学期望()E.12．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：40,50、50,60、60,70、…、90,100，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数；(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在90,100的人数为，试求的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布2,N，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差2s，经计算242.25s.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？参考数据：0.6827PX，220.9545PX，330.9974PX.