易错点17 极坐标和参数方程（解析版）

易错点17极坐标和参数方程易错点1.极坐标1．极坐标与直角坐标的互化：①互化条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。②互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(,)xy，极坐标是(,)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(,)xy极坐标(,)互化公式cossinxy222tan(0)xyyxx说明：若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角；利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。易错点2.参数方程1.常见的参数方程:(1)直线的参数方程：若直线过00(,)xy，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，其中参数t的几何意义是直线上定点P0到动点P的有向线段P0P的数量，若动点P在定点P0的上方，则t0；若动点P在定点P0的下方，则t0；若动点P与定点P0重合，则t＝0.定点P0到动点P的距离是|P0P|＝|t|.（2）圆的参数方程：①圆222xyr的参数方程sincosryrx（为参数）②圆222xaybr的参数方程为：00cossinxxryyr（为参数）（3）椭圆22221xyab的参数方程cossinxayb（为参数）（4）抛物线22ypx的参数方程222xPtyPt（t为参数）2.关于参数几点说明：（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样（3）在实际问题中要确定参数的取值范围。（4）利用直线参数方程中参数的几何意义解题中经常用到结论：经过点00(,)Pxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①1202ttt；②1202ttPMt；③21ABtt；④12PAPBtt.注意：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点(,)Mxy到000(,)Mxy的距离，即0MMt.1．已知圆C：25cos35sinxy（为参数），与圆C关于直线0xy对称的圆的普通方程是（）.A．22(3)(2)25xyB．22(2)(3)25xyC．22(3)(2)5xyD．22235xy【答案】A【详解】圆C：25cos35sinxy（为参数）转化为普通方程为22(2)(3)25xy，圆心为(2,3)，半径为5，设圆C关于直线0xy对称的圆的圆心为(,)ab，半径为5，所以点(2,3)与点(,)ab关于0xy对称，所以230223112abba，解得32ab，所以对称的圆的圆心为(3,2)，半径为5，故对称的圆的普通方程是22(3)(2)25xy.故选：A.2．已知直线1C：11xtyat(t为参数)与圆2C：2交于A、B两点，当AB最小时，a的取值为（）A．4B．2C．1D．1【答案】D【详解】解：圆2C：2化为直角坐标方程为：224xy．把直线1C：11xtyat，化为普通方程为：11yax，由于直线1C过定点11P，在圆的内部，因此当OPAB时，AB取得最小值．1ABOPkk，11a，解得1a．故选：D．3．已知实数x，y满足2245xy，则2xy的最大值是（）A．10B．5C．6D．3【答案】A【详解】因为实数x，y满足2245xy，所以可设5cos,25sin,0,2πxy，所以25cos5sin10sin4xy，所以2xy的最大值是10，当π4取得等号故选:A4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为32212xtyt（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为：2sin6cos.(1)求直线l普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)过点2,0M的直线l与C相交于A，B两点，求AMBM的值.【详解】（1）对32212xtyt，可得2ty，代入322xt可得：23xy，故直线l的普通方程为：320xy；对2sin6cos两边同时乘以可得：22sin6cos，即26yx，故曲线C的直角坐标方程为：26yx.（2）将l的参数方程代入26yx，并化简得2123480tt，6240，设A，B对应参数为1t，2t，又1248tt，所以1248AMBMtt.5．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为12cos12sinxy（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设射线1:π0l和射线2ππ:0,022l分别与曲线C交于,AB两点，求AOB面积的最大值.【详解】（1）易知曲线C的普通方程：22112xy，因为cosx，siny，所以曲线C的极坐标方程为：22icos11n2s，即2sin2cos.（2）由题意及（1）知2sinπ2cosπ2OA，ππ2sin2cos2cos2sin22OB，∴1πsinπ2cos2sincos22AOBSOAOB△22cossin2πsin2cos212sin214，因为π02，则ππ5π2444，所以当ππ242，即π8时，AOB的面积最大，最大值是21.1．参数方程2xtyt（其中tR）表示的曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【详解】由参数方程可得曲线普通方程为：2yx，曲线为抛物线.故选：D.2．已知双曲线C的参数方程为11xttytt（t为参数），则此双曲线的焦距等于（）A．2B．4C．22D．42【答案】D【详解】由11xttytt可得，22144xy，所以222448cab，即22c，所以双曲线的焦距为242c．故选：D．3．已知椭圆cosΓ:(sinxayb为参数，0a，0)b的焦点分别1(2,0)F、2(2,0)F，点A为椭圆的上顶点，直线2AF与椭圆的另一个交点为B．若12||3||BFBF，则椭圆的普通方程为__．【答案】221128xy【详解】解：根据题意，椭圆cosΓ:(sinxayb为参数，0a，0)b，其普通方程为22221xyab，若其焦点分别1(2,0)F、2(2,0)F，则2c，则有224ab，①点A为椭圆的上顶点，则A的坐标为(0,)b，又由12||3||BFBF，而12||||2BFBFa，则13||2aBF，2||2aBF，又由2||AFa，且A、B、2F三点共线，则B的坐标为3,2b，又由13||2aBF，则有2229(32)44ba，②联立①②，解可得：212a，28b；故椭圆的方程为221128xy；故答案为：221128xy．4．在直角坐标系xOy中，C的圆心为2,1C，半径为1．（1）写出C的一个参数方程;（2）过点4,1F作C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【详解】（1）由题意，C的普通方程为22(2)(1)1xy，所以C的参数方程为2cos1sinxy，（为参数）（2）[方法一]：直角坐标系方法①当直线的斜率不存在时，直线方程为4x，此时圆心到直线的距离为2r，故舍去．②当切线斜率存在时，设其方程为(4)1ykx，即410kxyk．故2|2141|11kkk，即222|2|1,41kkkk，解得33k．所以切线方程为3(4)13yx或3(4)13yx．两条切线的极坐标方程分别为343sincos133和343sincos133．即53sin262和3sin262．[方法二]【最优解】：定义求斜率法如图所示，过点F作C的两条切线，切点分别为A，B．在ACF△中，3tan3ACAFCAF，又∥CFx轴，所以两条切线,FAFB的斜率分别33和33．故切线的方程为3(4)13yx，3(4)13yx，这两条切线的极坐标方程为34sincos3133和34sincos3133．即53sin262和3sin262．5．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为26txyt（t为参数），曲线2C的参数方程为26sxys（s为参数）．(1)写出1C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程为2cossin0，求3C与1C交点的直角坐标，及3C与2C交点的直角坐标．【详解】（1）因为26tx，yt，所以226yx，即1C的普通方程为2620yxy．（2）因为2,6sxys，所以262xy，即2C的普通方程为2620yxy，由2cossin02cossin0，即3C的普通方程为20xy．联立262020yxyxy，解得：121xy或12xy，即交点坐标为1,12，1,2；联立262020yxyxy，解得：121xy或12xy，即交点坐标为1,12，1,2．一、单选题1．下列点不在直线212222xtyt(t为参数)上的是()A．(－1，2)B．(2，－1)C．(3，－2)D．(－3，2)【答案】D【详解】直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.故答案为D2．若x与y满足224xy，则该轨迹上的任意一点可表示为（）A．sincos（，）B．2sin2cos（，）C．2sin2cos（，）D．4sin4cos（，）【答案】C【详解】设轨迹上的点的坐标为()xy，，将选项的坐标依次代入方程中验证.A：将(sincos)，代入22xy中得1，故A错误；B：将(2sin2cos)，代入22xy中得2，故B错误；C：将(2sin2cos)，代入22xy中得4，故C正确；D：将(4sin4cos)，代入22xy中得16，故D错误；故选：C3．当曲线11cos:sinxCy(为参数)的点到直线2sin30:1cos120xtCyt(t为参数)的最短距离时，该点的坐标是（）.A．221,22B．221,22