易错点18 不等式选讲（解析版）

易错点18不等式选讲易错点1.绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a{x|－axa}∅∅|x|a{x|xa或x－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．易错点2.基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b0，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．易错点3.不等式证明1．比较法(1)比差法的依据是：a－b0⇔ab．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B0，欲证A≥B，只需证AB≥1.2．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．易错点4.柯西不等式1、柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．2、柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ(α，β为非零向量)时，等号成立．3、柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32.4、柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．1．已知平面向量a，b是单位向量，且1abrr，向量c满足32cab，则cr的最大值为（）A．332B．23C．31D．231【答案】A【详解】解：因为1abrr，所以21ab，即2221aabb，又1abrr，所以21ab．所以22223ababaabbrrrrrrrr．因为ccabab，所以333322ccabab．故选：A．2．已知,abR，则“1ab”是“1ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由绝对值三角不等式得：abab，当且仅当0ab≤时，等号成立，所以1ab1ab，而1ab1ab，所以“1ab”是“1ab”的必要不充分条件.故选：B3．设||||1xy，若(,)|||1|Mxyaxbyaybx的最大值是5，则ab的最大值是（）A．254B．22C．2D．4【答案】D【详解】当2ab时，111222()2()522axbyaybxxyyxxyxy，所以4ab是可能的，故B、C错误；将点(1,0)(0,1)(1,0)(0,1)、、、分别代入(,)Mxy，得(1,0)1(0,1)1(1,0)1(0,1)1MabMbaMabMba，又11111111ababbabaababbaba，因为(,)Mxy的最大值为5，所以max(,)5Mxy恒成立，即15151515abbaabba，解得4ab，当(4)abtt时，4abtba，无解，故A错误，D正确.故选：D.4．关于x的不等式3xaxa恒成立，则实数a的取值范围为（）A．3,0,2B．2,C．3,2D．,2【答案】C【详解】由于333xaxxaxa，30xax时等号成立.所以3aa恒成立，即3aa或3aa，解得32a，所以a的取值范围是3,2.故选：C5．已知函数()2Rfxxxaxa(1)当1a时，解不等式()1fx；(2)若()2fxx对于任意的13,42x轾Î犏犏臌恒成立，求实数a的取值范围．【详解】（1）解：当1a时，不等式()1fx，即2|1|1xxx，所以12(1)1xxxx或12(1)1xxxx，即得21210xxx或212310xxx，解得112x或1x，所以不等式()1fx的解集为1{|12xx或1}x（2）解：因为()2fxx对任意的13,42x轾Î犏犏臌恒成立，所以，||1xxa对任意的13,42x轾Î犏犏臌恒成立，即1||xax，即11xaxxx，故只要1xax且1axx对任意的13,42x轾Î犏犏臌恒成立即可，因为1122xxxx，13,42x轾Î犏犏臌，当且仅当1xx时，即1x时等号成立，所以min1()2xx，令1()gxxx，13,42x轾Î犏犏臌，因为函数1,yxyx在13,42x轾Î犏犏臌上单调递增，所以()gx在13,42上的单调递增，从而max35()()26gxg，所以，526a，即实数a的取值范围是5,261．已知集合1,1,2,4,11ABxx，则AB（）A．{1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{1,4}【答案】B【详解】[方法一]：直接法因为|02Bxx，故1,2AB，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法=1x代入集合11Bxx，可得21，不满足，排除A、D；4x代入集合11Bxx，可得31，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．2．已知,abR，若对任意,|||4||25|0xaxbxxR，则（）A．1,3abB．1,3abC．1,3abD．1,3ab【答案】D【详解】由题意有：对任意的xR，有|||25||4|axbxx恒成立．设||fxaxb，51,2525439,421,4xxgxxxxxxx，即fx的图像恒在gx的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a，13b，或13a，3143ba，故选：D．3．已知a，b，c都是正数，且3332221abc，证明：(1)19abc；(2)12abcbcacababc；【答案】（1）证明：因为0a，0b，0c，则320a，320b，320c，所以33333322232223abcabc，即1213abc，所以19abc，当且仅当333222abc，即319abc时取等号．（2）证明：因为0a，0b，0c，所以2bcbc，2acac，2abab，所以3222aaabcbcabc，3222bbbacacabc，3222cccabababc333333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabc当且仅当abc时取等号．4．已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：(1)23abc；(2)若2bc，则113ac．【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式由柯西不等式有222222221112abcabc，所以23abc，当且仅当21abc时，取等号，所以23abc.[方法二]：基本不等式由222abab，2244bcbc，2244acac，222222224244349abcabcabbcacabc，当且仅当21abc时，取等号，所以23abc.（2）证明：因为2bc，0a，0b，0c，由（1）得243abcac，即043ac，所以1143ac，由权方和不等式知22212111293444acacacac，当且仅当124ac，即1a，12c时取等号，所以113ac.5．已知函数3fxxax．（1）当1a时，求不等式6fx的解集;（2）若fxa，求a的取值范围．【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a时，13fxxx，13xx表示数轴上的点到1和3的距离之和，则6fx表示数轴上的点到1和3的距离之和不小于6，当4x或2x时所对应的数轴上的点到13，所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到13，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x或2x，所以6fx的解集为,42,.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a时，()|1||3|fxxx．当3x时，(1)(3)6xx，解得4x；当31x时，(1)(3)6xx，无解；当1x时，(1)(3)6xx，解得2x．综上，|1||3|6xx的解集为(,4][2,)．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意fxa，即3axax恒成立，333xaxxaax，当且仅当30axx时取等号，3minfxa,故3aa，所以3aa或3aa，解得32a.所以a的取值范围是3,2.[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||xa是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得()|||3||3|fxxaxa，故|3|aa，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a时，23,,()3,3,23,3,xaxafxaaxxax则min[()]3fxa，此时3aa，无解．当3a时，23,3,()3,3,23,,xaxfxaxaxaxa则min[()]3fxa，此时，由3aa得，32a．综上，a的取值范围为32a．[方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得min3fxa后，构造两个函数|3|ya和ya，即3,3,3,3aayaa和ya，如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22