2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题1 微重点4　函数的公切线问题

微重点4函数的公切线问题导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．考点一求两函数的公切线例1(2022·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝lnx＋1的公共切线，则l的方程为__________．答案y＝ex－1或y＝x解析设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝lnx＋1相切于点Q(b，lnb＋1)，则ea＝1b＝lnb－ea＋2b－a，整理得(a－1)(ea－1)＝0，解得a＝1或a＝0，当a＝1时，l的方程为y＝ex－1；当a＝0时，l的方程为y＝x.规律方法求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．跟踪演练1已知函数f(x)＝x2－2m，g(x)＝3lnx－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝________，该切线方程为________．答案12x－y－3＝0解析设函数f(x)＝x2－2m与g(x)＝3lnx－x的公共点为(x0，y0)，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x－1，则fx0＝gx0，f′x0＝g′x0，即x20－2m＝3lnx0－x0，2x0＝3x0－1，x00，解得x0＝m＝1，∴f′(x0)＝2，f(x0)＝－1，切线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.考点二与公切线有关的求值问题例2(2022·河南省百校大联考)已知f(x)＝x22＋lnx与g(x)＝2x－x3＋c的图象有一条公切线，则c＝________.答案－32解析因为f(x)＝x22＋lnx，g(x)＝2x－x3＋c，所以f′(x)＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)，g′(x)＝2－3x2≤2(当且仅当x＝0时取等号)，所以公切线的斜率为2，与f(x)的图象相切于点1，12，与g(x)的图象相切于点(0，c)，故c－120－1＝2，即c＝－32.规律方法利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．跟踪演练2(2022·湖北省新高考协作体联考)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是()A．2B．1C．0D．－2答案A解析y＝x3的导函数为y′＝3x2，y＝x2－x＋a的导函数为y′＝2x－1，若直线与y＝x3和y＝x2－x＋a的切点分别为(x1，x31)，(x2，x22－x2＋a)，则过(0，－2)的直线为y＝3x21x－2，y＝(2x2－1)x－2，则有3x21＝2x2－1，x22－x2＋a＝2x2－1x2－2，x31＝3x31－2，解得x1＝1，x2＝2，a＝2.考点三判断公切线条数例3(2022·菏泽质检)若直线l与曲线y＝ex和y＝lnx都相切，则满足条件的直线l有()A．0条B．1条C．2条D．无数条答案C解析设直线l与曲线y＝ex相切于点(x1，1ex)，y′＝ex，∴直线l的方程为y－1ex＝1ex(x－x1)，即y＝1ex·x－x11ex＋1ex.设直线l与曲线y＝lnx相切于点(x2，lnx2)，y′＝1x，∴直线l的方程为y－lnx2＝1x2(x－x2)，即y＝1x2·x－1＋lnx2，则1112121e,ee1ln,xxxxxx消去x2得x11ex－1ex－x1－1＝0，令φ(x)＝xex－ex－x－1，x∈R，φ′(x)＝xex－1，令g(x)＝xex－1，x∈R.则g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)0，当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)0，∵φ′(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，∴φ′(x)min＝φ′(－1)＝－1e－10，又当x0时，φ′(x)0，且φ′(0)0，φ′(1)＝e－10，∃x0∈(0,1)，使φ′(x)＝0，即x00ex＝1，∴当x∈(－∞，x0)时，φ′(x)0，当x∈(x0，＋∞)时，φ′(x)0，∴φ(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(x0)＝x00ex－0ex－x0－1＝－1x0－x00，且φ(－2)＝1－3e20，φ(2)＝e2－30，∴函数φ(x)有2个零点，即y＝ex与y＝lnx有2条公切线．规律方法运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．跟踪演练3若a12e，则函数y＝ax2与y＝lnx的公切线有()A．0条B．1条C．2条D．无数条答案C解析设切线与曲线y＝lnx相切于点(t，lnt)，对函数y＝lnx求导得y′＝1x，所以曲线y＝lnx在点(t，lnt)处的切线方程为y－lnt＝1t(x－t)，即y＝1tx＋lnt－1，联立y＝ax2，y＝1tx＋lnt－1，可得ax2－1tx＋1－lnt＝0，由题意可得a≠0且Δ＝1t2－4a(1－lnt)＝0，可得14a＝t2－t2lnt，令g(t)＝t2－t2lnt，其中t0，则g′(t)＝2t－(2tlnt＋t)＝t(1－2lnt)．当0te时，g′(t)0，函数g(t)单调递增；当te时，g′(t)0，函数g(t)单调递减，所以g(t)max＝g(e)＝e2.且当0te时，g(t)0；当te时，g(t)0，函数g(t)的图象如图所示，由题意可知，当a12e时，014ae2，由图可知，直线y＝14a与曲线g(t)有两个交点，则函数y＝ax2与y＝lnx有两条公切线．考点四求参数的取值范围例4若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝exa(a0)存在公切线，则实数a的取值范围为________．答案e24，＋∞解析y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，y＝exa(a0)在点n，1aen处的切线斜率为1aen，如果两个曲线存在公共切线，那么2m＝1aen.又由斜率公式得2m＝m2－1aenm－n，由此得到m＝2n－2，则4n－4＝1aen有解，即y＝4x－4，y＝1aex的图象有公共点即可．当直线y＝4x－4与曲线y＝1aex相切时，设切点为(s，t)，则1aes＝4，且t＝4s－4＝1aes，可得t＝4，s＝2，即切点为(2,4)，a＝e24，故a的取值范围是a≥e24.规律方法利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．跟踪演练4(2022·西安模拟)若函数f(x)＝lnx＋a与函数g(x)＝x2＋2x(x0)的图象有公切线，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，ln2＋1)解析设公切线与函数f(x)＝lnx＋a的图象相切于点(x1，lnx1＋a)，与函数g(x)＝x2＋2x(x0)的图象相切于点(x2，x22＋2x2)，则公切线斜率k＝f′(x1)＝1x1＝g′(x2)＝2x2＋2，故切线方程为y－(lnx1＋a)＝1x1(x－x1)，即y＝1x1x＋lnx1＋a－1，也可以表示为y－(x22＋2x2)＝(2x2＋2)(x－x2)，即y＝(2x2＋2)x－x22，可得1x1＝2x2＋2，lnx1＋a－1＝－x22，∴a＝－lnx1－12x1－12＋1＝ln1x1－141x1－22＋1，∵x20x1，∴1x1＝2x2＋2∈(0,2)，令t＝1x1，则t∈(0,2)，a＝lnt－14t2＋t，令h(t)＝lnt－14t2＋t，t∈(0,2)，则h′(t)＝1t－12t＋1＝－t2＋2t＋22t＝－t－12＋32t0，则h(t)在(0,2)上单调递增，当t→0时，h(t)→－∞，当t＝2时，h(2)＝ln2＋1，故a的取值范围是(－∞，ln2＋1)．专题强化练1．(2022·合肥模拟)已知函数f(x)＝x，g(x)＝alnx，a∈R，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)相交，且在交点处有公切线，则a的值为()A.e2B．e2C．eD．2e答案A解析设曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的交点为P(x0，y0)，则x0＝alnx0，因为f′(x)＝12x，g′(x)＝ax，所以12x0＝ax0，即a＝x02，则x0＝alnx0＝x02lnx0，因为x00，所以lnx0＝2，即x0＝e2，所以a＝x02＝e2.2．(2022·深圳模拟)已知曲线C1：y＝x3，曲线C2：y＝cosx－1与直线l：y＝0，则()A．l与C1，C2均相切B．l与C1，C2均不相切C．l与C1相切，l与C2不相切D．l与C1不相切，l与C2相切答案A解析设曲线C1：y＝x3在点A(x0，y0)处的切线的斜率为0，则3x20＝0，y0＝x30，所以x0＝0，y0＝0，切线方程为y＝0，设曲线C2：y＝cosx－1在点B(x1，y1)处的切线的斜率为0，则－sinx1＝0，y1＝cosx1－1，所以x1＝2kπ(k∈Z)，y1＝0或x1＝2kπ＋π(k∈Z)，y1＝－2，取x1＝0，y1＝0可得切线方程为y＝0，所以l与C1，C2均相切．3．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于()A．0B．－1C．3D．－1或3答案D解析设直线l与f(x)＝xlnx相切的切点为(m，mlnm)，由f(x)＝xlnx的导数为f′(x)＝1＋lnx，可得切线的斜率为1＋lnm，则切线方程为y－mlnm＝(1＋lnm)(x－m)，将A(0，－1)代入切线方程可得－1－mlnm＝(1＋lnm)(0－m)，解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，联立y＝x－1，y＝x2＋ax，可得x2＋(a－1)x＋1＝0，由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或3.4．(2022·邢台模拟)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝lnx的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2－x1＋x2等于()A．－2B．－1C．1D．2答案B解析由f(x)＝ex，g(x)＝lnx，得f′(x)＝ex，g′(x)＝1x，则1ex＝1x2，1lnex＝ln1x2，即x1＝－lnx2.曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为y＝1exx＋1ex(1－x1)，曲线y＝g(x)在点B处的切线方程为y＝1x2x－1＋lnx2，所以1ex(1－x1)＝－1＋lnx2，可得1x2(1－x1)＝－1－x1，整理得x1x2－x1＋x2＝－1.5．(2022·青岛质检)若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线y＝f(x)在这两点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“自重合”函数．下列函数中是“自重合”函数的为()A．y＝lnx＋xB．y＝ex＋1C．y＝x3D．y＝x－cosx答案D解析若曲线y＝f(x)在这两点处的切线重合，首先要保证这两点处导数相同．A选项中，y′＝1x＋1；B选项中，y′＝ex，导数均为单调函数，切点不同时，导数值不同，所以切线不可能重合，故A，B错误；C选项中，y′＝3x2，若斜率相同，则切点为(x0，x30)和(－x0，－x30)，代入解得切线方程分别为y＝3x20x－2x30和y＝3x20x＋2x30，若切线重合，则x0＝0，此时两切点为同一点，不符合题意，故C错误；D选项中，y′＝1＋sinx，令y′＝1＋sinx＝1得x＝kπ(k∈Z)，则有点(0，－1)，(2π，2π－1)，切线均为y＝x－1，所以存在不同的两点使得切线重合，故D正确．6．(2022·南京模拟)若二次函数f(x)＝