2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题1 第3讲　不等式

第3讲不等式[考情分析]1.不等式的性质与解法常与集合、函数相结合，也可渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中.2.线性规划主要考查利用代数式的几何意义(如斜率、截距、距离等)求目标函数的最值.3.基本不等式通常与其他知识综合考查求最值、范围等问题.4.此部分内容多以选择题、填空题形式呈现，中等难度．考点一不等式的性质与解法核心提炼判断关于不等式命题真假的常用方法(1)作差法、作商法，作商法要注意除数的正负．(2)利用不等式的性质推理判断．(3)利用函数的单调性．(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题．例1(1)(2022·黄冈中学模拟)已知a，b，c均为非零实数，且abc，则下列不等式中，一定成立的是________．(填序号)①acbc；②ac2bc2；③(a－b)c(a－c)c；④lna－ba－c0.答案②④解析对于①，取特殊值a＝2，b＝1，c＝－1，满足abc，但acbc，故①不成立；对于②，因为a，b，c均为非零实数，且abc，所以c20，所以ac2bc2，故②成立；对于③，取特殊值a＝3，b＝2，c＝－1，满足非零实数abc，此时(a－b)c＝(3－2)－1＝1，(a－c)c＝(3＋1)－1＝4－1＝14，但(a－b)c(a－c)c，故③不成立；对于④，因为a，b，c均为非零实数，且abc，所以－b－c，a－c0，a－b0，所以0a－ba－c，0a－ba－c1，所以lna－ba－cln1，即lna－ba－c0，故④成立．(2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－1，2)，则关于x的不等式2a＋bx＋cbx的解集为________．答案(－∞，0)解析由题意，关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－1，2)，则－1，2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可得－ba＝－1＋2，ca＝－1×2，a0，解得b＝－a，c＝－2a，且a0，则关于x的不等式2a＋bx＋cbx可化为ax－2a－ax，即1x－2－x，即x2－2x＋1x＝x－12x0，解得x0，所以不等式2a＋bx＋cbx的解集为(－∞，0)．易错提醒解不等式问题的易错点(1)对参数讨论时分类不完整，易忽视a＝0的情况．(2)一元二次不等式中，易忽视开口方向，从而错解．(3)分式不等式易忽视分母不为0.跟踪演练1(1)(2022·临川模拟)若实数a，b满足a6a5b，则下列选项中一定成立的是()A．abB．a3b3C．ea－b1D．lnab0答案D解析因为a6a5b，所以a6－a5b＝a5(a－b)0，显然a≠0，所以a(a－b)0，所以a0，a－b0或a0，a－b0，即0ab或ba0.若0ab，则a3b3，ea－be0＝1，lnabln1＝0；若ba0，则a3b3，ea－be0＝1，lnabln1＝0，则一定成立的是选项D.(2)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为()A．(6，7]B．[－3，－2)C．[－3，－2)∪(6，7]D．[－3，7]答案C解析不等式x2－(m＋2)x＋2m0，即(x－2)(x－m)0，当m2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6m≤7；当m＝2时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m2时，不等式的解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m－2.综上所述，实数m的取值范围为[－3，－2)∪(6，7]．考点二线性规划核心提炼1．截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－abx＋zb(b≠0)，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．2．距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.3．斜率型：形如z＝y－bx－a(x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.例2(1)(2022·全国乙卷)若x，y满足约束条件x＋y≥2，x＋2y≤4，y≥0，则z＝2x－y的最大值是()A．－2B．4C．8D．12答案C解析方法一由题意作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，转化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z，上下平移直线y＝2x－z，可得当直线过点(4，0)时，直线截距最小，z最大，所以zmax＝2×4－0＝8.方法二由x＋y＝2，x＋2y＝4，得x＝0，y＝2，此时z＝2×0－2＝－2；由x＋y＝2，y＝0，得x＝2，y＝0，此时z＝2×2－0＝4；由x＋2y＝4，y＝0，得x＝4，y＝0，此时z＝2×4－0＝8.综上所述，z＝2x－y的最大值为8.(2)(2022·运城模拟)已知实数x，y满足约束条件x－y＋3≥0，x＋y－5≤0，x－2y＋2≤0，则z＝y－3x＋2的取值范围是()A.0，13∪[2，＋∞)B.13，＋∞C.13，2D.－∞，13∪[2，＋∞)答案D解析画出约束条件x－y＋3≥0，x＋y－5≤0，x－2y＋2≤0所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z＝y－3x＋2表示可行域内点N(x，y)与定点M(－2,3)连线的斜率，由图可得A(1,4)，B(－4，－1)，则kMA＝4－31＋2＝13，kMB＝－1－3－4＋2＝2，由数形结合，得kMN≤13或kMN≥2，所以z＝y－3x＋2的取值范围是－∞，13∪[2，＋∞)．规律方法含参数的线性规划问题，参数位置一般有两种形式：一是目标函数中含有参数，这时可以准确作出可行域，这类问题的一般特征是其最优解是可知的，因此解题时可充分利用目标函数的斜率特征加以转化；二是在约束条件中含参，可行域的边界线中有一条是动态的，所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理，有时还需分类讨论．跟踪演练2(1)(2022·宁波模拟)若实数x，y满足2x－y≥0，y≥x，y≤－x＋2m，且z＝3x＋y的最大值为8，则实数m的值为()A．0B．1C．2D．3答案C解析画出不等式组2x－y≥0，y≥x，y≤－x＋2m所表示的可行域(含边界)如图所示，O(0，0)，A(m，m)，B2m3，4m3，由图中直线斜率关系知，当直线y＝－3x＋z向上平移时，依次经过点O，B，A.故经过点A时，z有最大值4m，由4m＝8，得m＝2.(2)(2022·榆林模拟)已知实数x，y满足3x－2y＋6≥0，2x－3y－6≤0，x＋2y＋2≥0，则目标函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2的最小值为________．答案95解析作出不等式组3x－2y＋6≥0，2x－3y－6≤0，x＋2y＋2≥0表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内的点与点(－1，－2)的距离的平方．由图知，z＝x＋12＋y＋22的最小值为点(－1，－2)到直线x＋2y＋2＝0的距离，即|－1－4＋2|5＝355，所以z的最小值为95.考点三基本不等式核心提炼基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋Agx＋Bg(x)(AB0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．例3(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则x＋1xy的最小值为()A．9B．12C．26＋5D.6＋5答案C解析因为x0，y0，且2x＋y＝1，所以x＋1xy＝x＋2x＋yxy＝3y＋1x＝3y＋1x(2x＋y)＝6xy＋yx＋5≥26xy·yx＋5＝26＋5，当且仅当6xy＝yx，即y＝6x时取等号．(2)(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当ACAB取得最小值时，BD＝________.答案3－1解析设BD＝k(k0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×－12＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k×12＝4k2－4k＋4，则AC2AB2＝4k2－4k＋4k2＋2k＋4＝4k2＋2k＋4－12k－12k2＋2k＋4＝4－12k＋1k2＋2k＋4＝4－12k＋1k＋12＋3＝4－12k＋1＋3k＋1.∵k＋1＋3k＋1≥23当且仅当k＋1＝3k＋1，即k＝3－1时等号成立，∴AC2AB2≥4－1223＝4－23＝(3－1)2，∴当ACAB取得最小值3－1时，BD＝k＝3－1.规律方法利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件(1)一正二定三相等，三者缺一不可．(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．跟踪演练3(1)若a，b∈R，ab0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为()A．6B．4C．22D．2答案B解析∵ab0，∴a4＋4b4＋1ab≥2a4·4b4＋1ab＝4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4.当且仅当a4＝4b4，4ab＝1ab，即a2＝2b2＝22时取等号．(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的取值范围是_____________，x2＋y2的最大值为________．答案[－2,2]2解析由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋y22，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以x＋y的取值范围为[－2,2]．由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤x2＋y22，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以x2＋y2的最大值为2.专题强化练一、选择题1．不等式4x－2≤x－2的解集是()A．(－∞，0]∪(2，4]B．[0，2)∪[4，＋∞)C．[2，4)D．(－∞，2)∪(4，＋∞)答案B解析当x－20，即x2时，(x－2)2≥4，即x－2≥2，解得x≥4；当x－20，即x2时，(x－2)2≤4，即－2≤x－20，解得0≤x2.综上，不等式的解集为[0，2)∪[4，＋∞)．2．(2022·衡水中学模拟)已知1a1b0，则下列结论一定正确的是()A．a2b2B.ba＋ab2C．|a|a|a|bD．lga2lgab答案D解析由1a1b0，可得ba0，则a＋b0，a－b0，ab0，A中，由a2－b2＝(a＋b)(a－b)0，得a2b2，所以A不正确；B中，由ba0，ab0，且ba≠ab，得ba＋ab2ba·ab＝2，所以B不正确；C中，当|a|＝1时，|a|a|a|b＝|a|a－b＝1，此时|a|a＝|a|b，所以C不正确；D中，由lga2－lgab＝lga2ab＝lgab，且ba0，得0ab1，所以lgab0，可得lga2lgab，所以D正确．3．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是()A．y＝x2＋2x＋4B．y＝|sinx|＋4|sinx|C．y＝2x＋22－xD．y＝lnx＋4lnx答案C解析选项A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时