2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题5 第2讲　概　率

第2讲概率[考情分析]1.考查古典概型、几何概型及概率与统计的综合问题.2.概率与统计的综合问题常以解答题的形式出现，中等难度．选择题、填空题考查古典概型、几何概型，中低等难度．考点一古典概型核心提炼1．古典概型条件(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．2．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件个数基本事件总数.例1(1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.15B.13C.25D.23答案C解析从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝615＝25.故选C.(2)(2022·茂名模拟)甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要，甲连续工作2天后休息1天，乙连续工作3天后休息1天，丙连续工作4天后休息1天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为()A.13B.25C.1130D.310答案B解析甲工作的日期为1,2,4,5,7,8,10，…，29，乙工作的日期为1,2,3,5,6,7,9,10，…，30，丙工作的日期为1,2,3,4,6,7,8,9，…，29，三人在同一天工作的日期为1,2,7,11,13,14,17,19,22,23,26,29，∴三人同一天工作的概率为P＝1230＝25.规律方法(1)求古典概型的概率的关键是正确列举出所有基本事件和待求事件包含的基本事件．(2)两点注意：①对于较复杂的题目，列出事件时要正确分类，分类时应不重不漏．②当直接求解有困难时，可考虑其对立事件的概率．跟踪演练1(1)(2022·赣州模拟)已知正方形ABCD的中心为M，从A，B，C，D，M五个点中任取三点，则取到的三点构成直角三角形的概率为()A.15B.12C.35D.45答案D解析从A，B，C，D，M五个点中任取三点的基本事件有ABC，ABD，ABM，ACD，ACM，ADM，BCD，BCM，BDM，CDM，共10个，其中可构成直角三角形的有ABC，ABD，ABM，ACD，ADM，BCD，BCM，CDM，共8个，概率为P＝810＝45.(2)(2022·临川模拟)将各个面涂上红色的正方体锯成64个大小相同的正方体，则这些正方体中至少有两个面涂有红色的概率为()A.12B.38C.18D.58答案A解析如图，两面是红色的正方体共有24个，三面是红色的正方体有8个，共32个，故至少有两面是红色的正方体的概率为3264＝12.考点二几何概型核心提炼1．几何概型条件(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.例2(1)(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于74的概率为()A.79B.2332C.932D.29答案B解析在区间(0,1)中随机取一个数，记为x，在区间(1,2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于74，即x＋y74，则0x1，1y2，x＋y74.在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于74”即x＋y74中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型计算公式得P(A)＝1－342×121×1＝2332.(2)(2022·太原模拟)如图，三棱锥P－ABC的四个面都为直角三角形，PA⊥平面ABC，PA＝2，AC＝BC＝1，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥P－ABC内的概率为()A.224πB.216πC.212πD.28π答案D解析根据题意，三棱锥P－ABC外接球的球心为PB的中点，PB＝2，设三棱锥P－ABC外接球的半径为R，则R＝1，由于三棱锥P－ABC的体积为VP－ABC＝13×12×1×1×2＝26，三棱锥P－ABC外接球的体积为V球＝43πR3＝4π3，所以P＝264π3＝28π.规律方法(1)几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．跟踪演练2(1)(2022·合肥模拟)每逢春节，家家户户都要贴“福”字，“福”字，代表福气、福运和幸福，某同学想给图中的“福”字镶边，为了测算“福”字的面积，在半径为30cm的圆形区域内随机投掷1000个点，其中落在“福”字上的点有410个，据此可估计“福”字的面积为________cm2(结果保留π)．答案369π解析设“福”字的面积为xcm2，则由题意可得xπ·302＝4101000，解得x＝369π.(2)(2022·泸州模拟)在[－11,6]内取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋2m，记事件A为“函数f(x)有零点”，事件B为“函数f(x)只有负零点”，则P(A)＝________，P(B)＝________.答案917317解析令f(x)＝－x2＋mx＋2m＝0，当函数f(x)有零点时，由Δ＝m2＋8m≥0，得m≥0或m≤－8，又因为m∈[－11,6]，所以m∈[－11，－8]∪[0,6]，P(A)＝－8－－11＋6－06－－11＝917，当函数f(x)只有负零点时，得Δ＝m2＋8m≥0，－m－10，2m－10，解得m≤－8，又因为m∈[－11,6]，所以m∈[－11，－8]，则P(B)＝－8－－116－－11＝317.考点三概率与统计的综合问题核心提炼概率与统计的综合问题，要通过阅读，精准提炼有效解题信息，有时将统计中的频率近似作为概率使用．例3某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量x(10≤x≤20，单位：公斤)，其频率分布直方图如图所示．该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元，若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其他商店调拨，销售1公斤可获利30元．假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元．(1)求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替．①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[580,760]内的概率．解(1)商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为y＝50x－10×14－x，10≤x14，50×14＋30x－14，14≤x≤20，化简得，y＝60x－140，10≤x14，30x＋280，14≤x≤20.(2)①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[10,12)的频率是2×0.08＝0.16；海鲜需求量在区间[12,14)的频率是2×0.12＝0.24；海鲜需求量在区间[14,16)的频率是2×0.15＝0.30；海鲜需求量在区间[16,18)的频率是2×0.10＝0.20；海鲜需求量在区间[18,20]的频率是2×0.05＝0.10.这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数为(11×60－140)×0.16＋(13×60－140)×0.24＋(15×30＋280)×0.30＋(17×30＋280)×0.20＋(19×30＋280)×0.10＝83.2＋153.6＋219＋158＋85＝698.8(元)．②由于当x＝14时，30×14＋280＝60×14－140＝700(元)，显然y＝60x－140，10≤x14，30x＋280，14≤x≤20在区间[10,20]上单调递增，由y＝580＝60x－140，得x＝12，由y＝760＝30x＋280，得x＝16.日利润y在区间[580,760]内的概率即海鲜需求量x在区间[12,16]的频率为0.24＋0.30＝0.54，所以可估计日利润在区间[580,760]内的概率为0.54.规律方法(1)概率与统计的综合问题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算．(2)在求解该类问题时要注意两点：①明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率．②此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成．跟踪演练3(2022·哈尔滨模拟)医学中判断男生的体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去105所得差值即为该人的标准体重．比如身高175cm的人，其标准体重为175－105＝70(kg)，一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了．已知某班共有30名男生，从这30名男生中随机选取6名，其身高和体重的数据如表所示：编号123456身高(cm)165171160173178167体重(kg)606362707158(1)从编号为1,2,3,4,5的这5人中任选2人，求恰有1人体重超标的概率；(2)依据上述表格信息，用最小二乘法求出了体重y对身高x的线性回归方程y^＝0.65x＋a^，但在用回归方程预报其他同学的体重时，预报值与实际值吻合不好，需要对上述数据进行残差分析．按经验，对残差在区间(－3.4,3.4)之外的同学要重新采集数据．问上述随机抽取的编号为3,4,5,6的四人中，有哪几位同学要重新采集数据？解(1)由表可知：1号同学的标准体重为165－105＝60(kg)；2号同学的标准体重为171－105＝66(kg)；3号同学的标准体重为160－105＝55(kg)；4号同学的标准体重为173－105＝68(kg)；5号同学的标准体重为178－105＝73(kg)；故3号、4号同学体重超标．从5人中任选2人的所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，恰有1人体重超标包含的基本事件有(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,5)，(4,5)，共6个，恰有1人体重超标记为事件A，则P(A)＝0.6.(2)因为x＝165＋171＋160＋173＋178＋1676＝169，y＝60＋63＋62＋70＋71＋586＝64，回归直线必过样本点的中心(169,64)，得64＝0.65×169＋a^，即a^＝－45.85，所以线性回归方程为y^＝0.65x－45.85，残差分析：e^3＝62－0.65×160＋45.85＝3.85，e^4＝70－0.65×173＋45.85＝3.4，e^5＝71－0.65×178＋45.85＝1.15，e^6＝58－0.65×167＋45.85＝－4.7，故3号、4号和6号同学需要重新采集数据．专题强化练一、选择题1．(2022·新余模拟)种植某种树苗，现采用随机模拟的方法估计种植这种树苗5棵恰好成活4棵的概率．先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定2至9的数字代表成活，0和1代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果．经随机模拟产生如下30组随机数：698016609777124229613151629747249455755865258741302322437445443443331527120217825855561017452419220183005949765617316624303440111770362441347423534781据此估计，该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为()A．0