2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题2 微重点6　几何特征在解三角形中的

微重点6几何特征在解三角形中的应用解三角形在平面几何中的应用，是高考的重点，主要考查正、余弦定理、平面几何的几何特征、性质(中线、角平分线等)，选择、填空、解答题都可以出现，难度中等．考点一三角形的中线及应用例1(2022·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinB＝2bcos2B＋C2.(1)求角A的大小；(2)若BC边上的中线AD＝2，求△ABC面积的最大值．解(1)依题意有3asinB＝2bcos2B＋C2＝(1－cosA)b，所以3sinAsinB＝(1－cosA)sinB，因为在△ABC中sinB≠0，所以3sinA＝1－cosA，又sin2A＋cos2A＝1，解得sinA＝32，cosA＝－12，所以A＝2π3.(2)由|AD→|＝AB→＋AC→2＝2，得|AB→＋AC→|＝4，所以|AB→|2＋|AC→|2＋2|AB→||AC→|cos2π3＝|AB→|2＋|AC→|2－|AB→||AC→|＝16≥|AB→||AC→|，所以(|AB→||AC→|)max＝16，当且仅当|AB→|＝|AC→|＝4时，等号成立．所以△ABC面积的最大值为S＝12|AB→|·|AC→|·sin∠BAC＝43.规律方法解三角形问题涉及到中点问题时，可采用向量法使问题简化．在△ABC中，若D为边BC上的中点，则AD→＝12(AB→＋AC→，两边平方即可得到三角形边长之间的关系．跟踪演练1(2022·德州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c2＝ab，点D是边AB的中点，CDsin∠ACB＝asinB.(1)证明：CD＝c；(2)求cos∠ACB的值．(1)证明由题意得，CD＝asinBsin∠ACB，由正弦定理得bsinB＝csin∠ACB，即sinBsin∠ACB＝bc，所以CD＝abc，由于c2＝ab，所以CD＝c.(2)解由题意知CD＝c，AD＝c2，DB＝c2，所以cos∠ADC＝c2＋c24－b22·c·c2＝54c2－b2c2，同理cos∠BDC＝c2＋c24－a22·c·c2＝54c2－a2c2，由于∠ADC＝π－∠BDC，所以54c2－b2c2＋54c2－a2c2＝0，整理得a2＋b2＝52c2，由余弦定理得cos∠ACB＝a2＋b2－c22ab＝3c24ab＝34.考点二三角形的角平分线及应用例2(2022·保定模拟)已知在△ABC中，∠BAC＝120°，∠BAC的角平分线与BC相交于点D.(1)若AC＝2AB＝2，求CD的长；(2)若AD＝1，求AB＋AC的最小值．解(1)因为AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos∠BAC＝7，故BC＝7，由角平分线定理知ABAC＝BDCD，又ABAC＝12，所以BDCD＝12，又BD＋CD＝7，所以CD＝273.(2)由题意得，△ABC的面积等于△ABD的面积与△ACD的面积之和，又AB＝c，AC＝b，所以12×32×bc＝12×32×b×1＋12×32×c×1，整理得bc＝b＋c.则b＋c＝bc≤b＋c22，即b＋c24≥b＋c，解得b＋c≥4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，即AB＋AC的最小值为4.规律方法角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解．跟踪演练2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝ccos∠BAC，∠BAC的角平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝18，则以下结论正确的是________．(填序号)①AC＝34；②AB＝8；③CDBD＝18；④△ABD的面积为374.答案①③④解析因为b＝ccos∠BAC，由正弦定理可得sinB＝sinCcos∠BAC＝sin(∠BAC＋C)，所以sin∠BACcosC＝0，因为sin∠BAC≠0，所以cosC＝0，即C＝π2.因为cos∠BAC＝18＝ACAB，由角平分线定理可得ACAB＝CDBD＝18，故③正确；设AC＝x，则AB＝8x，则BC＝37x，CD＝73x.在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2＋73x2＝1，解得x＝34(负值舍去)，即AC＝34，AB＝6，故①正确，②错误；由cos∠BAC＝18，得sin∠BAC＝378，因为S△ABC＝12×34×6×378＝27732，所以S△ABD＝89S△ABC＝374，故④正确．考点三四边形问题例3(2022·日照模拟)在①S△ABC＝2，②∠ADC＝π6这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝3π4，∠BAC＝∠DAC，________，CD＝2AB＝4，求AC的长．(注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分)解选择①：由S△ABC＝12·AB·BC·sin∠ABC＝12×2·BC·sin3π4＝2，得BC＝22.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋8－2×2×22×－22＝20，所以AC＝20＝25.选择②：设∠BAC＝∠CAD＝θ，则0θπ4，∠BCA＝π4－θ.在△ABC中，ACsin∠ABC＝ABsin∠BCA，即ACsin3π4＝2sinπ4－θ，所以AC＝2sinπ4－θ.在△ACD中，ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD，即ACsinπ6＝4sinθ，所以AC＝2sinθ，所以2sinθ＝2sinπ4－θ，解得2sinθ＝cosθ，又0θπ4，所以sinθ＝55，所以AC＝2sinθ＝25.规律方法解多边形问题，一般是把要求的量放到三角形中，利用正、余弦定理求解，关键是选择好三角形，否则就会使问题复杂化，所以解多边形问题的实质还是解三角形问题．跟踪演练3(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，∠ABC＝120°，∠ACD＝90°，∠CDA＝60°，则BD的长度为()A.533B．23C．33D.733答案D解析设∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝10－6cos120°＝13，则AC＝13，从而CD＝133＝393，由正弦定理得ABsinα＝ACsin120°，即sinα＝3213＝3926，从而cos∠BCD＝cos(90°＋α)＝－sinα＝－3926，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝9＋133＋2×3×393×3926＝493，则BD＝733.(2)(2022·百校联盟联考)如图，在凸四边形ABCD中，AB＝2AD，△BCD为等边三角形．则当四边形ABCD的面积最大时，sin∠BAD＝__________.答案12解析设AD＝a，则AB＝2a，由题意可知S△ABD＝12·AB·AD·sin∠BAD＝a2sin∠BAD.在△ABD中，根据余弦定理，可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝a2(5－4cos∠BAD)，则S△BCD＝12BD2sin60°＝34BD2＝34a2(5－4cos∠BAD)，所以四边形ABCD的面积S＝a2sin∠BAD＋34a2(5－4cos∠BAD)＝534a2＋2a2sin∠BAD－π3.所以当∠BAD＝5π6时，四边形ABCD的面积S最大，此时，sin∠BAD＝12.专题强化练1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠BAC＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝72，则BC的长为()A．7B．32C.19D．33答案C解析如图，AD→＝12(AB→＋AC→)，∵AD→2＝14(AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→)，∴494＝14(c2＋9＋3c)，∴c＝5(负根舍去)，∵BC2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝9＋25－2×3×5×12＝19，∴BC＝19.2.(2022·赣州模拟)如图，在四边形ABCD中，BC⊥DC，∠BAD＝∠ABC＝π3，BC＝2，AD＝1，则DC的长为()A.62B.2C.3D．3答案C解析如图，延长AD，BC交于点E，由题意知，∠BAD＝∠ABC＝π3，BC⊥DC，∴∠DEC＝π3，∠DCE＝π2，∴∠ADC＝5π6，不妨设DC＝x，则EC＝33x，DE＝233x.∵BE＝EC＋BC＝AE，∴33x＋2＝1＋233x，解得x＝3.3．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ACD的面积为()A.5107B.12107C.19107D.26107答案B解析设∠ABC＝θ，则∠ADC＝π－θ，∵在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosθ，在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos(π－θ)，∴AB2＋BC2－2AB·BC·cosθ＝AD2＋CD2＋2AD·CD·cosθ，则61－60cosθ＝25＋24cosθ，∴cosθ＝37，而0θπ，故sinθ＝2107，∴S△ACD＝12AD·CD·sin(π－θ)＝6sinθ＝12107.4.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠BAC的角平分线交BC于点D，AB＝2AC，若CD＝7，则S△ABC的面积为________．答案932解析由角平分线定理知ABAC＝BDCD＝2，∴BD＝2CD＝27，∴BC＝37，令AC＝t，则AB＝2t，由余弦定理得63＝t2＋4t2－2×t×2t×－12解得t＝3(负值舍去)，∴AB＝6，AC＝3，∴S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝932.5.(2022·长沙质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A＝60°，B＝45°，若将六个和△ABC全等的三角形围成如图的正六边形，设其面积为S1，阴影部分面积为S2，则S1S2＝________.答案33＋6解析因为A＝60°，B＝45°，则C＝75°，所以sinC＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝6＋24，面积比为相似比的平方，S1S2＝a2c－b2＝sin2AsinC－sinB2＝sin260°sin75°－sin45°2＝346＋24－222＝348－4316＝32－3＝6＋33.6．(2022·山东学期联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3tanAtanB－tanA－tanB＝3，角C的平分线CD交AB于D.(1)求证：3CD＝1CA＋1CB；(2)若CD＝CB＝2，求△ABC的面积．(1)证明∵3tanAtanB－tanA－tanB＝3，∴3(tanAtanB－1)＝tanA＋tanB，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，∴tan(A＋B)＝－3，∴tan∠ACB＝3，∵0∠ACBπ，∴∠ACB＝π3，∵CD为角平分线，∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，∴12·CA·CB·sin∠ACB＝12·CD·CA·sin∠ACD＋12·CD·CB·sin∠BCD，∴3CA·CB＝CD·CB＋CD·CA，即3CD＝1CA＋1CB.(2)解由CD＝CB＝2代入3CD＝1CA＋1CB，可得CA＝3＋1，∴S△ABC＝12×CA×CB×sin∠ACB＝12×2×(3＋1)×32＝3＋32.7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosA＋(a＋2b)cosC＝0.(1)求C的大小；(2)若△ABC的面积等于43，D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AB边的长．解(1)由ccosA＋(a＋2b)cosC＝0，得sinCcosA＋(sinA＋2sinB)cosC＝0，即－2sinBcosC＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB.因为0°B180°，所以sinB0，从而cosC＝－12.又0°C180°，所以C＝120°.(2)因为S△ABC＝12absin120°＝34ab＝43，所以ab＝16.在△A